Determine se os vetores são ou não linearmente independentes em .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores v1=100, v2=011 e v3=101
são linearmente independentes em R^3. Vamos usar a definição: se a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos), então eles são independentes.
Passo 2
Considere a combinação linear
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 000
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a + 0 + c = 0, 0 + b + 0 = 0, 0 + b + c = 0
Passo 3
Da segunda equação vem
b = 0
Substituindo em b + c = 0 obtemos
c = 0
Finalmente, da primeira equação a + c = 0 resulta
a = 0
Portanto a única solução é a=b=c=0.
Passo 4
Como a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial, concluímos que os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes.