Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto P de todos os polinômios, com a soma e a multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre um corpo K (por exemplo R ou C). Vamos precisar:
– Definir explicitamente as operações em P.
– Verificar que P é fechado nessas operações.
– Conferir as propriedades de adição (comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) e as propriedades de multiplicação escalar (distributividades, associatividade e elemento escalar neutro).

Passo 2

Definições e fechamento
Cada polinômio pin P pode ser escrito como
p(x)=a0 + a1x + cdots + anx^n, aiinK
Para p,qin P e alphainK, definimos
(p+q)(x)=p(x)+q(x), (alpha,p)(x)=alphal(p(x)r)
A soma de dois polinômios é novamente um polinômio (soma coeficiente a coeficiente) e o múltiplo alpha,p também é polinomial (multiplica-se cada coeficiente por alpha). Logo, P é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 3

Propriedades de adição
  1. Comutatividade: para todo p,qin P vale
p+q=q+p,
pois K é um corpo e p(x)+q(x)=q(x)+p(x).
2. Associatividade: para p,q,rin P
(p+q)+r = p+(q+r),
novamente por associatividade em K.
3. Existe o polinômio zero, definido por 0(x)=0 para todo x, que é identidade:
p+0 = p
  1. Para cada pin P existe o inverso aditivo -p dado por (-p)(x)=-p(x), e
p + (-p) = 0

Passo 4

Propriedades de multiplicação escalar (parte 1)
  1. Distributividade em relação à soma de vetores: para alphainK e p,qin P
alpha,(p+q) = alpha,p + alpha,q,
pois alphal(p(x)+q(x)r)=alpha,p(x)+alpha,q(x).
2. Distributividade em relação à soma de escalares: para alpha,betainK e pin P
(alpha+beta),p = alpha,p + beta,p,
seguindo (alpha+beta)p(x)=alpha,p(x)+beta,p(x).

Passo 5

Propriedades de multiplicação escalar (parte 2)
  1. Associatividade de escalares: para alpha,betainK e pin P
alpha,(beta,p) = (alphabeta),p,
pois alphal(beta,p(x)r)=(alphabeta),p(x).
2. Elemento escalar neutro: o escalar 1inK satisfaz
1cdot p = p,
já que 1cdot p(x)=p(x).

Resposta

Como P é fechado sob as operações e todas as propriedades acima são satisfeitas, concluímos que P forma um espaço vetorial sobre K.

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