Seja
o conjunto de todos os polinômios. Mostre que
, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
de todos os polinômios, com a soma e a multiplicação por escalar definidas ponto a ponto, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre um corpo
(por exemplo
ou
). Vamos precisar:
– Definir explicitamente as operações em .
– Verificar que é fechado nessas operações.
– Conferir as propriedades de adição (comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) e as propriedades de multiplicação escalar (distributividades, associatividade e elemento escalar neutro).
– Definir explicitamente as operações em
– Verificar que
– Conferir as propriedades de adição (comutatividade, associatividade, elemento neutro e inverso) e as propriedades de multiplicação escalar (distributividades, associatividade e elemento escalar neutro).
Passo 2
Definições e fechamento
Cada polinômio pode ser escrito como
Cada polinômio
Para
e
, definimos
A soma de dois polinômios é novamente um polinômio (soma coeficiente a coeficiente) e o múltiplo
também é polinomial (multiplica-se cada coeficiente por
). Logo,
é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 3
Propriedades de adição
- Comutatividade: para todo
vale
pois
é um corpo e
.
2. Associatividade: para
2. Associatividade: para
novamente por associatividade em
.
3. Existe o polinômio zero, definido por para todo
, que é identidade:
3. Existe o polinômio zero, definido por
- Para cada
existe o inverso aditivo dado por , e
Passo 4
Propriedades de multiplicação escalar (parte 1)
- Distributividade em relação à soma de vetores: para
e
pois
.
2. Distributividade em relação à soma de escalares: para e
2. Distributividade em relação à soma de escalares: para
seguindo
.
Passo 5
Propriedades de multiplicação escalar (parte 2)
- Associatividade de escalares: para
e
pois
.
2. Elemento escalar neutro: o escalar satisfaz
2. Elemento escalar neutro: o escalar
já que
.
Resposta
Como
é fechado sob as operações e todas as propriedades acima são satisfeitas, concluímos que
forma um espaço vetorial sobre
.