Ache a equação do círculo
circunscrito ao triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do círculo circunscrito ao triângulo cujos vértices são
,
e
.
Informações dadas:
- Vértices:
, , . - Objetivo: achar a equação do círculo que passa por
, e (o circuncírculo do triângulo).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, passo a passo):
- O centro do circuncírculo é o ponto equidistante dos três vértices; geometricamente é a interseção das mediatrizes (bissetrizes perpendiculares dos lados) do triângulo.
- Cada mediatriz é a reta perpendicular a um lado que passa pelo ponto médio desse lado.
- Para uma reta que passa por pontos
e , a inclinação (coeficiente angular) é
- A inclinação da reta perpendicular é o negativo do recíproco, isto é, se uma reta tem inclinação
(com e finito), a perpendicular tem inclinação . (Se a perpendicular é vertical; se a reta é vertical a perpendicular é horizontal.) - Vamos construir duas mediatrizes (por exemplo as de
e ), achar suas equações e resolver o sistema para obter o centro. Depois usamos a fórmula da distância para obter o raio.
Passo 3
Mediatriz de
:
- Slope de
:
- Ponto médio de
:
- Inclinação da mediatriz (perpendicular a
) é . - Equação da mediatriz de
: reta de inclinação passando por . Em forma ponto-inclinação:
Isolando:
Passo 4
Mediatriz de
:
- Slope de
:
- Ponto médio de
:
- Inclinação da mediatriz (perpendicular a
) é . - Equação da mediatriz de
: reta de inclinação passando por :
Isolando:
Passo 5
Interseção das mediatrizes (centro do circuncírculo):
- Resolver o sistema
- Igualando as duas expressões de
:
- Substituindo em
:
- Assim o centro do circuncírculo é
.
Observação (checagem rápida): pode-se verificar usando a mediatriz de
que o ponto
também pertence a ela (controle extra de consistência).]
Passo 6
Raio do circuncírculo (fórmula da distância entre dois pontos):
- A distância entre
e é
- Portanto
.
Passo 7
Conclusão (valores a serem usados na equação padrão do círculo):
- Centro:
. - Raio ao quadrado:
.