Ache a equação do círculo \mathcal{C} circunscrito ao triângulo de vértices A=(7,3), B=(1,9) e C=(5,7).

Passo 1

O enunciado pede a equação do círculo circunscrito ao triângulo cujos vértices são A=(7,3), B=(1,9) e C=(5,7).
Informações dadas:
  • Vértices: A=(7,3), B=(1,9), C=(5,7).
  • Objetivo: achar a equação do círculo que passa por A, B e C (o circuncírculo do triângulo).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, passo a passo):
  • O centro do circuncírculo é o ponto equidistante dos três vértices; geometricamente é a interseção das mediatrizes (bissetrizes perpendiculares dos lados) do triângulo.
  • Cada mediatriz é a reta perpendicular a um lado que passa pelo ponto médio desse lado.
  • Para uma reta que passa por pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a inclinação (coeficiente angular) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
  • A inclinação da reta perpendicular é o negativo do recíproco, isto é, se uma reta tem inclinação m (com m\neq0 e m finito), a perpendicular tem inclinação -\dfrac{1}{m}. (Se m=0 a perpendicular é vertical; se a reta é vertical a perpendicular é horizontal.)
  • Vamos construir duas mediatrizes (por exemplo as de AB e BC), achar suas equações e resolver o sistema para obter o centro. Depois usamos a fórmula da distância para obter o raio.

Passo 3

Mediatriz de AB:
  • Slope de AB:
m_{AB}=\frac{9-3}{1-7}=\frac{6}{-6}=-1.
  • Ponto médio de AB:
M_{AB}=\Big(\frac{7+1}{2},\frac{3+9}{2}\Big)=(4,6).
  • Inclinação da mediatriz (perpendicular a AB) é -\dfrac{1}{m_{AB}}=-\dfrac{1}{-1}=1.
  • Equação da mediatriz de AB: reta de inclinação 1 passando por (4,6). Em forma ponto-inclinação:
y-6=1\,(x-4).
Isolando:
y=x+2.

Passo 4

Mediatriz de BC:
  • Slope de BC:
m_{BC}=\frac{7-9}{5-1}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2}.
  • Ponto médio de BC:
M_{BC}=\Big(\frac{1+5}{2},\frac{9+7}{2}\Big)=(3,8).
  • Inclinação da mediatriz (perpendicular a BC) é -\dfrac{1}{m_{BC}}=-\dfrac{1}{-\tfrac{1}{2}}=2.
  • Equação da mediatriz de BC: reta de inclinação 2 passando por (3,8):
y-8=2\,(x-3).
Isolando:
y=2x+2.

Passo 5

Interseção das mediatrizes (centro do circuncírculo):
  • Resolver o sistema
\begin{cases} y=x+2,\\[4pt] y=2x+2. \end{cases}
  • Igualando as duas expressões de y:
x+2=2x+2 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Substituindo em y=x+2:
y=0+2=2.
  • Assim o centro do circuncírculo é O=(0,2).
Observação (checagem rápida): pode-se verificar usando a mediatriz de AC que o ponto (0,2) também pertence a ela (controle extra de consistência).]

Passo 6

Raio do circuncírculo (fórmula da distância entre dois pontos):
  • A distância entre O=(0,2) e A=(7,3) é
r=\sqrt{(7-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}.
  • Portanto r^2=50.

Passo 7

Conclusão (valores a serem usados na equação padrão do círculo):
  • Centro: O=(0,2).
  • Raio ao quadrado: r^2=50.

Resposta

x^2+(y-2)^2=50

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