Faça um esboço detalhado da região \mathcal{R} do plano dada pelo sistema de inequações:
\mathcal{R}:\left\{\begin{array}{l} x \leq y+1 \\\ x \geq-y \\\ x^{2}+y^{2}>\frac{1}{2} \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço detalhado da região \mathcal{R} do plano determinada pelo sistema
\mathcal{R}:\left\{\begin{array}{l} x \leq y+1\\[4pt] x \geq -y\\[4pt] x^{2}+y^{2}>\dfrac{1}{2} \end{array}\right.
As informações relevantes dadas são:
As duas primeiras inequações descrevem duas retas como fronteiras (com desigualdades não estritas para elas).
A terceira inequação descreve a região exterior a um círculo centrado na origem, com desigualdade estrita.
O objetivo é desenhar (esboçar) a região que satisfaz as três condições ao mesmo tempo, indicando claramente quais fronteiras estão incluídas e quais não.]
Passo 2
Vamos transformar as duas primeiras desigualdades em equações das retas (essas serão as fronteiras) e escrever cada uma em forma habitual:
Da primeira: x \leq y+1. A fronteira é a reta
x = y+1 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x-1.
Da segunda: x \geq -y. A fronteira é a reta
x = -y \quad\Longleftrightarrow\quad y = -x.
Observações fáceis para desenhar cada reta:
A reta y=x-1 tem inclinação 1 e intercepto em y=-1. Pontos simples: se x=0 então y=-1; se y=0 então x=1.
A reta y=-x tem inclinação -1 e passa pela origem. Pontos simples: (0,0), (1,-1), (-1,1).
No esboço: desenhe os eixos, depois trace a reta y=x-1 (reta com slope 1, deslocada para baixo 1) e a reta y=-x (diagonal que corta a origem).
Passo 3
Agora interpretamos os lados das desigualdades (qual lado de cada reta é a região válida). Usei o método do ponto-teste (pegar um ponto fácil e ver se satisfaz a desigualdade):
Teste com o ponto (0,0):
Para x \leq y+1: 0 \leq 0+1 é verdadeiro, logo (0,0) está no lado permitido da reta y=x-1.
Para x \geq -y: 0 \geq 0 é verdadeiro, logo (0,0) está também no lado permitido da reta y=-x.
Portanto as duas desigualdades juntas significam que precisamos do conjunto de pontos que está no lado de ambas as retas onde (0,0) fica. Escrevendo as desigualdades em termos de y:
x \leq y+1 \Longleftrightarrow y \geq x-1, \qquad x \geq -y \Longleftrightarrow y \geq -x.
Assim a região imposta pelas duas primeiras desigualdades é
\{(x,y)\mid y \geq x-1 \\ \text{e}\\ y \geq -x\},
ou seja, o ponto deve estar acima de ambas as retas. Geometricamente é um “cunha” (um ângulo) com vértice onde as retas se cruzam e que se abre para cima.
Passo 4
Calcule a interseção das duas retas (o vértice do “ônibus” — do ângulo):
Resolvendo o sistema
\begin{cases} y = x-1,\\[4pt] y = -x, \end{cases}
iguais entre si: x-1 = -x. Logo
2x = 1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Então y = -x = -\tfrac{1}{2}. O ponto de interseção é
\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right).
Esse ponto é o vértice do setor formado pelas duas retas; no desenho, as duas retas se encontram aí e a região admissível pelas duas primeiras desigualdades é tudo acima desse vértice, entre as duas retas.]
Passo 5
Agora trate da terceira desigualdade: x^{2}+y^{2}>\dfrac{1}{2}.
Isso é a região exterior ao disco fechado centrado na origem com raio \sqrt{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} (como a desigualdade é estrita, o círculo de raio \dfrac{1}{\sqrt{2}} não está incluído).
No esboço: desenhe o círculo de centro (0,0) e raio \dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0{,}707. Como a desigualdade é >, a circunferência deve ser desenhada tracejada (não incluída) e a região válida é fora desse círculo.
Passo 6
Verifique como o círculo interage com as duas retas (pontos de interseção), porque isso diz onde cortar a cunha pela exclusão do disco.
Intersecção da reta y=-x com a circunferência x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{2}:
O discriminante é \Delta=(-4)^{2}-4\cdot4\cdot1=16-16=0, logo há uma raiz dupla:
x=\dfrac{4}{8}=\tfrac{1}{2}.
Então a única interseção é x=\tfrac{1}{2}, com y=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}. Ou seja, a reta y=x-1 é tangente à circunferência exatamente no ponto
\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right).
Conclusão desses cálculos:
A reta y=-x corta a circunferência em dois pontos \left(\pm\tfrac{1}{2},\mp\tfrac{1}{2}\right).
A reta y=x-1 é tangente à circunferência em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).
O vértice do ângulo formado pelas retas é exatamente \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right), que pertence à circunferência. Como a desigualdade do círculo é estrita (>), esse ponto não pertence à região \mathcal{R}.
Passo 7
Interpretação geométrica final e instruções de esboço passo a passo (como desenhar em prova):
Desenhe os eixos x e y.
Desenhe o círculo de centro (0,0) e raio \dfrac{1}{\sqrt{2}}. Trace a circunferência ponto-traço (ou tracejada) porque a condição é x^{2}+y^{2}>\tfrac{1}{2} (o bordo não é incluído).
Trace a reta y=-x (diagonal) com traço contínuo (a desigualdade x\ge -y permite a igualdade, então a reta faz parte da fronteira).
Trace a reta y=x-1 (diagonal deslocada para baixo) com traço contínuo (igualdade também permitida).
Marque o ponto de interseção das duas retas em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right). Observe que esse ponto fica exatamente sobre a circunferência; como a circunferência está excluída, o vértice do setor também ficará excluído (marcar com um ponto aberto).
A região imposta pelas duas primeiras desigualdades é tudo que fica “acima” de ambas as retas (o setor angular com vértice em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) e que se abre para cima). Pinte (ou sombreie) essa cunha.
Como a terceira condição exige estar fora do disco, apague/sobreponha a parte sombreada que ficou dentro do círculo. O resultado final é: a região dentro do setor entre as duas retas mas com o interior do disco x^{2}+y^{2}\le\tfrac{1}{2} removido. Note que a circunferência está excluída (tracejada) e as retas são incluídas (traço contínuo), exceto nos pontos dessas retas que também caem sobre a circunferência — esses pontos específicos estão excluídos por causa da desigualdade estrita do círculo.
Passo 8
Características importantes para mencionar no rascunho final (o que anotar na figura):
O conjunto é ilimitado (vai até o infinito na direção positiva de y); é um setor angular aberto para cima, com um “buraco” circular na ponta.
A reta y=-x intersecta a circunferência em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) e \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
A reta y=x-1 é tangente à circunferência em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right).
O vértice do setor \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) está exatamente sobre a circunferência e, portanto, não faz parte de \mathcal{R}.
Um exemplo de ponto que pertence a \mathcal{R} é (0,1): verifica-se 0\le 1+1, 0\ge -1 (ambas verdadeiras) e 0^{2}+1^{2}=1>\tfrac{1}{2}.
Um exemplo de ponto que não pertence é (0,0): ele satisfaz as duas primeiras desigualdades mas falha na terceira (0\not>\tfrac{1}{2}).
Resposta
A região \mathcal{R} é o conjunto dos pontos que estão acima das retas y=x-1 e y=-x (ou seja, y\ge x-1 e y\ge -x) e, ao mesmo tempo, fora do disco de raio \dfrac{1}{\sqrt{2}} centrado na origem (ou seja, x^{2}+y^{2}>\tfrac{1}{2}). Geometricamente é um setor angular com vértice em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right) (esse vértice está sobre a circunferência e é excluído), limitado lateralmente pelas retas y=x-1 (tangente ao círculo em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)) e y=-x (que corta a circunferência em \left(\pm\tfrac{1}{2},\mp\tfrac{1}{2}\right)), e com a parte interior do disco x^{2}+y^{2}\le\tfrac{1}{2} removida.