Determine os pontos
e
de modo que a projeção ortogonal do segmento
sobre a reta
seja o segmento
, onde
,
e
é um segmento contido numa reta paralela ao vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos
e
tais que a projeção ortogonal do segmento
sobre a reta
seja o segmento
. Informações dadas:
-
. -
. - A reta
tem equação . - O segmento
está contido numa reta paralela ao vetor .
O que precisamos encontrar: as coordenadas dee de que satisfazem a condição da projeção ortogonal.
Passo 2
Interpretação geométrica e estratégia (sem resolver ainda):
- A projeção ortogonal de um segmento sobre uma reta corresponde às projeções ortogonais dos seus extremos. Assim, se a projeção de
é e sabemos que é um extremo de e um extremo de , então faz sentido que seja a projeção ortogonal de sobre e que seja a projeção ortogonal de sobre . - Usaremos essa ideia: calcular a projeção ortogonal de
para obter ; parametrizar como e escolher para que a projeção ortogonal de seja o ponto já dado. - Para projetar um ponto ortogonalmente sobre uma reta usaremos a fórmula direta (explicada no passo seguinte).
Passo 3
Fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta e explicação:
- Seja a reta dada por
e seja um ponto qualquer. Denotando o vetor normal à reta, a distância algébrica do ponto à reta na direção do normal é
- A projeção ortogonal
de sobre a reta é obtida subtraindo esse deslocamento na direção do normal:
- Aqui
é a razão que corrige o ponto ao longo do vetor normal até a reta; e são os coeficientes da equação da reta e o termo independente.
Passo 4
Calcular
, projeção ortogonal de
sobre
.
- Escrever
em forma : . Portanto , , . - Calcular
para :
- Aplicar a fórmula da projeção:
- Assim
Passo 5
Parametrizar
e exigir que sua projeção seja
.
- Como
é paralelo a e passa por , escrevemos
onde
(e
se
).
- Calcular a projeção de
sobre usando a mesma fórmula. Primeiro o numerador:
- Então
- A projeção de
é
- Precisamos que essa projeção seja
. Assim o sistema é
com
.
Passo 6
Resolver o sistema para
.
- Substituindo
na primeira equação:
Multiplicar por
:
- Verificação rápida usando a segunda equação: calcular
com :
Então
que coincide com a coordenada
de
. As duas equações são consistentes.
Passo 7
Calcular as coordenadas de
com
.
- Relembrando o ponto
achado no passo 4: