Determine os pontos C e B de modo que a projeção ortogonal do segmento A B sobre a reta r: x+3 y=6 seja o segmento C D, onde A=(1,1), D=(3,1) e A B é um segmento contido numa reta paralela ao vetor (2,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos C e B tais que a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r: x+3y=6 seja o segmento CD. Informações dadas:
  • A=(1,1).
  • D=(3,1).
  • A reta r tem equação x+3y=6.
  • O segmento AB está contido numa reta paralela ao vetor (2,1).
    O que precisamos encontrar: as coordenadas de C e de B que satisfazem a condição da projeção ortogonal.

Passo 2

Interpretação geométrica e estratégia (sem resolver ainda):
  • A projeção ortogonal de um segmento sobre uma reta corresponde às projeções ortogonais dos seus extremos. Assim, se a projeção de AB é CD e sabemos que A é um extremo de AB e D um extremo de CD, então faz sentido que C seja a projeção ortogonal de A sobre r e que D seja a projeção ortogonal de B sobre r.
  • Usaremos essa ideia: calcular a projeção ortogonal de A para obter C; parametrizar B como B=A+t(2,1) e escolher t para que a projeção ortogonal de B seja o ponto D já dado.
  • Para projetar um ponto ortogonalmente sobre uma reta usaremos a fórmula direta (explicada no passo seguinte).

Passo 3

Fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta e explicação:
  • Seja a reta dada por Ax+By+C=0 e seja P=(x_0,y_0) um ponto qualquer. Denotando n=(A,B) o vetor normal à reta, a distância algébrica do ponto à reta na direção do normal é
s=\frac{A x_0 + B y_0 + C}{A^2+B^2}.
  • A projeção ortogonal P' de P sobre a reta é obtida subtraindo esse deslocamento na direção do normal:
P' = P - s\,n = (x_0,y_0) - s\,(A,B).
  • Aqui s é a razão que corrige o ponto P ao longo do vetor normal até a reta; A e B são os coeficientes da equação da reta e C o termo independente.

Passo 4

Calcular C, projeção ortogonal de A=(1,1) sobre r.
  • Escrever r em forma Ax+By+C=0: x+3y-6=0. Portanto A=1, B=3, C=-6.
  • Calcular s para A=(1,1):
s_A=\frac{1\cdot 1 + 3\cdot 1 + (-6)}{1^2+3^2}=\frac{1+3-6}{1+9}=\frac{-2}{10}=-\frac{1}{5}.
  • Aplicar a fórmula da projeção:
C = A - s_A\,(1,3) = (1,1) -\left(-\tfrac{1}{5}\right)(1,3) = (1,1)+\left(\tfrac{1}{5},\tfrac{3}{5}\right).
  • Assim
C=\left(1+\tfrac{1}{5},\;1+\tfrac{3}{5}\right)=\left(\tfrac{6}{5},\tfrac{8}{5}\right).

Passo 5

Parametrizar B e exigir que sua projeção seja D.
  • Como AB é paralelo a (2,1) e passa por A, escrevemos
B = A + t(2,1) = (1+2t,\;1+t),
onde t\in\mathbb{R} (e t\neq 0 se B\neq A).
  • Calcular a projeção de B sobre r usando a mesma fórmula. Primeiro o numerador:
1\cdot x_B + 3\cdot y_B -6 = (1+2t) + 3(1+t) -6 = 1+2t+3+3t-6 = 5t-2.
  • Então
s_B=\frac{5t-2}{1^2+3^2}=\frac{5t-2}{10}.
  • A projeção de B é
\operatorname{proj}_r(B) = B - s_B(1,3) = \big(1+2t - s_B,\;1+t -3s_B\big).
  • Precisamos que essa projeção seja D=(3,1). Assim o sistema é
1+2t - s_B = 3,
1+t - 3s_B = 1,
com s_B=\dfrac{5t-2}{10}.

Passo 6

Resolver o sistema para t.
  • Substituindo s_B na primeira equação:
1+2t - \frac{5t-2}{10} = 3.
Multiplicar por 10:
10(1+2t) - (5t-2) = 30 \quad\Rightarrow\quad 10+20t -5t +2 =30.
12 + 15t = 30 \quad\Rightarrow\quad 15t = 18 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}.
  • Verificação rápida usando a segunda equação: calcular s_B com t=\tfrac{6}{5}:
s_B=\frac{5t-2}{10}=\frac{5\cdot\frac{6}{5}-2}{10}=\frac{6-2}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Então
1+t - 3s_B = 1+\tfrac{6}{5} - 3\cdot\tfrac{2}{5} = 1+\tfrac{6}{5} - \tfrac{6}{5} = 1,
que coincide com a coordenada y de D. As duas equações são consistentes.

Passo 7

Calcular as coordenadas de B com t=\tfrac{6}{5}.
B = \big(1+2t,\;1+t\big) = \left(1+2\cdot\tfrac{6}{5},\;1+\tfrac{6}{5}\right) = \left(1+\tfrac{12}{5},\; \tfrac{11}{5}\right).
B=\left(\tfrac{17}{5},\tfrac{11}{5}\right).
  • Relembrando o ponto C achado no passo 4:
C=\left(\tfrac{6}{5},\tfrac{8}{5}\right).

Resposta

C=\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}\right)
B=\left(\dfrac{17}{5},\dfrac{11}{5}\right)

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