(a)Mostre que as retas r_{1}: x-y=2 e r_{2}: x+y=2 são tangentes ao círculo \mathcal{C}: x^{2}+y^{2}=2, e determine os pontos de tangência.
(b) Usando o item (a), faça um esboço detalhado da região \mathcal{R} do plano dado pelo seguinte sistema de inequações:
\mathcal{R}:\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}<4 \\\ x^{2}+y^{2} \geq 2 \\\ x+|y| \geq 2 \\\ x \geq 1 \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que as retas r_{1}: x-y=2 e r_{2}: x+y=2 são tangentes ao círculo \mathcal{C}: x^{2}+y^{2}=2 e determinar os pontos de tangência.
    (b) Usando (a), fazer um esboço detalhado da região \mathcal{R} definida por
    \mathcal{R}:\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}<4 \\[4pt] x^{2}+y^{2} \geq 2 \\[4pt] x+|y| \geq 2 \\[4pt] x \geq 1 \end{array}\right.
  • Dados relevantes fornecidos:
    • Círculo \mathcal{C} centrado na origem com raio \sqrt{2} (porque \,x^{2}+y^{2}=2 implica raio \sqrt{2}).
    • Duas retas: r_{1}: x-y=2 e r_{2}: x+y=2.
    • A região \mathcal{R} é a interseção das quatro condições acima (um anel entre dois círculos, cortado por outras restrições).
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.]

Passo 2

Conceito usado para (a): teste de tangência entre uma reta e um círculo centrado em (0,0).
  • Para uma reta na forma a x + b y + c = 0 e o centro do círculo em (0,0) com raio R, a distância do centro à reta é d=\frac{|a\cdot 0 + b\cdot 0 + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.A reta é tangente ao círculo se, e somente se, d=R. Isso porque tangência ocorre quando o segmento perpendicular do centro à reta tem comprimento igual ao raio (único ponto de contato).
Vou aplicar isso às retas dadas.

Passo 3

Aplicando a fórmula da distância para r_{1}.
  • Escrever r_{1} na forma a x + b y + c = 0: x - y - 2 = 0. Então a=1, b=-1, c=-2.
  • Calcular a distância do centro (0,0) à reta: d_{1}=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
  • O raio do círculo \mathcal{C} é R=\sqrt{2}. Como d_{1}=R, concluímos que r_{1} é tangente a \mathcal{C}.
Agora aplico para r_{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância para r_{2}.
  • Escrever r_{2} na forma a x + b y + c = 0: x + y - 2 = 0. Então a=1, b=1, c=-2.
  • Calcular a distância do centro (0,0) à reta: d_{2}=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|-2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
  • Como d_{2}=R, segue que r_{2} também é tangente a \mathcal{C}.
Portanto ambas as retas são tangentes ao círculo \mathcal{C}. Agora vamos encontrar os pontos de tangência.

Passo 5

Método para achar o ponto de tangência: projeção ortogonal do centro na reta (ou resolver o sistema reta + círculo e exigir interseção simples). Vou usar a fórmula do pé da perpendicular do ponto (0,0) na reta a x + b y + c = 0:
(x_T,y_T)=\Bigl(0 - a\frac{a\cdot 0 + b\cdot 0 + c}{a^{2}+b^{2}},\; 0 - b\frac{a\cdot 0 + b\cdot 0 + c}{a^{2}+b^{2}}\Bigr) = \Bigl(-a\frac{c}{a^{2}+b^{2}},\; -b\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\Bigr).
Isto é apenas a projeção do centro na reta (o ponto mais próximo do centro sobre a reta).
Vou aplicar essa fórmula a cada reta.

Passo 6

Ponto de tangência em r_{1}.
  • Para r_{1}: a=1, b=-1, c=-2, temos a^{2}+b^{2}=2 e \dfrac{c}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{-2}{2}=-1.
  • Assim (x_T,y_T)=\Bigl(-1\cdot(-1),\; -(-1)\cdot(-1)\Bigr)=(1,\,-1).
  • Verificação rápida: 1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2, logo (1,-1) está no círculo \mathcal{C} e também satisfaz x-y=1-(-1)=2. Portanto ponto de tangência em r_{1} é (1,-1).

Passo 7

Ponto de tangência em r_{2}.
  • Para r_{2}: a=1, b=1, c=-2, temos a^{2}+b^{2}=2 e \dfrac{c}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{-2}{2}=-1.
  • Assim (x_T,y_T)=\Bigl(-1\cdot(-1),\; -1\cdot(-1)\Bigr)=(1,\,1).
  • Verificação: 1^{2}+1^{2}=2 e 1+1=2. Logo ponto de tangência em r_{2} é (1,1).
Com isto terminei a parte (a): ambas as retas são tangentes e os pontos de tangência são (1,-1) e (1,1).

Passo 8

Agora parte (b): interpretar as desigualdades e descrever a região \mathcal{R}. Primeiro reorganizo a condição x+|y|\ge 2.
  • A desigualdade x+|y|\ge 2 é equivalente, por casos, a:
    • se y\ge 0: x+y\ge 2 (reta r_{2} como fronteira);
    • se y<0: x - y \ge 2 (reta r_{1} como fronteira).
  • Assim x+|y|\ge 2 define a região do plano que está no lado “direito/externo” do V formado pelas retas r_{1} e r_{2}. As retas r_{1} e r_{2} têm vértice deslocado (não no eixo) mas lembrando que ambas passam por pontos que já vimos.
Também a condição x\ge 1 restringe ao semiplano à direita da reta vertical x=1.
As duas desigualdades circulares descrevem um anel:
  • interior fechado: x^{2}+y^{2}\ge 2 (inclui a circunferência de raio \sqrt{2}),
  • exterior aberto: x^{2}+y^{2}<4 (dentro do círculo de raio 2, sem incluir a borda).
Portanto \mathcal{R} é a porção desse anel que fica com x\ge 1 e também satisfaz x+|y|\ge 2.

Passo 9

Determinar intervalo possível para x.
  • De x^{2}+y^{2}<4 segue |x|<2, então x<2. Juntando com x\ge 1 obtemos 1 \le x < 2.Ou seja, a região está contida na faixa vertical entre x=1 e x=2 (não incluindo x=2 porque aí x^{2}+y^{2}<4 falharia para y=0).

Passo 10

Para um x fixo com 1\le x <2, encontrar os valores admissíveis de y.
  • Das condições circulares temos
    x^{2}+y^{2}\ge 2 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\ge 2 - x^{2}
    e
    x^{2}+y^{2}<4 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}< 4 - x^{2}.
    Assim, por essas duas, devemos ter
    \sqrt{2 - x^{2}}\le |y| < \sqrt{4 - x^{2}},
    quando 2-x^{2}\ge 0. (Se 2-x^{2}<0 a primeira condição y^{2}\ge 2-x^{2} é automática.)
  • Da condição x+|y|\ge 2 obtemos
    |y| \ge 2 - x.
Agora precisamos combinar |y| \ge 2 - x e |y| \ge \sqrt{2 - x^{2}}. Qual é a restrição dominante para 1\le x<2?
  • Comparo 2-x e \sqrt{2-x^{2}}. Faço o quadrado (valendo para 1\le x<2, ambos não-negativos): (2-x)^{2} \ge 2 - x^{2}equivale a 4 - 4x + x^{2} \ge 2 - x^{2}
2x^{2} -4x +2 \ge 0
(x-1)^{2} \ge 0,
que é sempre verdadeira, com igualdade apenas em x=1. Logo para todo x\in[1,2) vale 2-x \ge \sqrt{2-x^{2}}. Assim a desigualdade |y| \ge 2-x é a mais forte (a que realmente restringe) dentro do intervalo 1\le x<2.
Portanto, para cada x\in[1,2) a condição sobre y reduz-se a
2-x \le |y| < \sqrt{4 - x^{2}}.
Isto fornece os intervalos explícitos de y (acima e abaixo do eixo) para cada x\in[1,2):
y\in [\,2-x,\\ \sqrt{4-x^{2}}\,)\quad\text{ou}\quad y\in (-\sqrt{4-x^{2}},\,-(2-x)].

Passo 11

Interpretação geométrica e desenho (esboço passo a passo):
  1. Desenhe dois círculos concêntricos centrados na origem:
    • círculo interno: raio \sqrt{2} (reta fronteira incluída).
    • círculo externo: raio 2 (fronteira não incluída).
  2. Desenhe as retas r_{1}: x-y=2 e r_{2}: x+y=2. Essas duas retas formam um “V” aberto para a direita; elas são tangentes ao círculo interno em (1,-1) e (1,1) (isso veio de (a)).
  3. Desenhe a reta vertical x=1.
  4. A região \mathcal{R} é a parte do anel (entre os dois círculos) que está:
    • à direita da reta x=1 (ou seja, com 1\le x<2), e
    • fora/à direita do V formado por r_{1} e r_{2} (isto é, satisfazendo x+|y|\ge 2).
  5. Consequentemente, \mathcal{R} consiste de duas peças simétricas (uma acima do eixo e outra abaixo), cada uma limitada:
    • à esquerda pela linha vertical x=1 entre os pontos (1,1) e (1,\sqrt{3}) (no ramo superior) e entre (1,-\sqrt{3}) e (1,-1) (ramo inferior),
    • internamente pela circunferência x^{2}+y^{2}=2 (o arco é incluído; tangencia em (1,\pm 1)),
    • externamente pela circunferência x^{2}+y^{2}=4 (o arco não é incluído, pois a desigualdade é estrita),
    • e pela reta x+|y|=2 (igualdade permitida) que aparece como a linha reta que toca o arco interno em (1,\pm1) e cruza o círculo externo em (2,0) e em (0,\pm 2) (esses últimos (0,\pm2) ficam fora por x\ge1).
  6. Pontos notáveis para marcar no desenho: (1,1), (1,-1) (tangência com círculo interno); (1,\sqrt{3}), (1,-\sqrt{3}) (interseções da linha x=1 com o círculo externo); (2,0) (interseção das retas do V com o círculo externo — ponto que não pertence a \mathcal{R} porque o círculo externo não é incluído).
  7. Em termos visuais: cada componente de \mathcal{R} parece uma “faixa curvilínea” entre a reta vertical x=1 e o arco do círculo radius 2, recortada pela reta inclinada do V (na verdade limitada por y=2-x no ramo superior e por y=-(2-x) no ramo inferior).

Passo 12

Resumo final em forma matemática prática (útil para conferência rápida e para desenhar com precisão):
  • Valores de x: 1 \le x < 2.
  • Para cada tal x, 2-x \le |y| < \sqrt{4-x^{2}}.
  • Em alternativa escrevendo como união: \mathcal{R}=\Bigl\{(x,y): 1\le x<2,\\\ 2-x\le |y|<\sqrt{4-x^{2}}\Bigr\}.

Resposta

(a) As retas r_{1} e r_{2} são tangentes a \mathcal{C}. Pontos de tangência: (1,-1) e (1,1).
(b) \displaystyle \mathcal{R}=\Bigl\{(x,y): 1\le x<2,\\\ 2-x\le |y|<\sqrt{4-x^{2}}\Bigr\}.

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