Ache equação para a elipse cujos focos são
e
e cuja excentricidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos nos pontos
e
, e uma excentricidade de
. Vamos trabalhar com a matéria de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são focos, excentricidade e como eles se relacionam na equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os focos da elipse. Eles estão nos pontos
e
. Isso significa que o centro da elipse está na metade do caminho entre os focos. Como os focos estão igualmente distantes do eixo y, sabemos que a elipse está centrada na origem, ou seja, no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que em uma elipse, a distância entre os dois focos é igual a
, onde
representa a distância do centro até cada foco. Aqui, a distância entre os focos é
unidades (de
a
no eixo x), então podemos encontrar
:
Passo 4
A excentricidade (
) de uma elipse é definida como a razão entre a distância focal (
) e o semi-eixo maior (
):
Estamos sabendo que
e recentemente encontramos que
. Vamos usar essa informação para encontrar
:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar o semi-eixo menor (
) usando a relação entre os eixos e a distância focal:
Passo 6
Com os valores de
e
, podemos escrever a equação padrão da elipse centrada na origem, com o eixo maior no eixo x:
Resposta
A equação da elipse é: