Ache equação para a elipse cujos focos são (-3,0) e (3,0) e cuja excentricidade é 35.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos nos pontos (-3,0) e (3,0), e uma excentricidade de 35. Vamos trabalhar com a matéria de geometria analítica, especificamente sobre elipses. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são focos, excentricidade e como eles se relacionam na equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os focos da elipse. Eles estão nos pontos (-3,0) e (3,0). Isso significa que o centro da elipse está na metade do caminho entre os focos. Como os focos estão igualmente distantes do eixo y, sabemos que a elipse está centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0).

Passo 3

Agora, vamos lembrar que em uma elipse, a distância entre os dois focos é igual a 2c, onde c representa a distância do centro até cada foco. Aqui, a distância entre os focos é 6 unidades (de -3 a 3 no eixo x), então podemos encontrar c:
2c = 6 c = 3

Passo 4

A excentricidade ( e) de uma elipse é definida como a razão entre a distância focal ( c) e o semi-eixo maior ( a):
e = ca
Estamos sabendo que e = 35 e recentemente encontramos que c = 3. Vamos usar essa informação para encontrar a:
35 = 3a a = 5

Passo 5

Agora que temos o valor de a, podemos encontrar o semi-eixo menor ( b) usando a relação entre os eixos e a distância focal:
c^2 = a^2 - b^2 3^2 = 5^2 - b^2 9 = 25 - b^2 b^2 = 25 - 9 b^2 = 16 b = 4

Passo 6

Com os valores de a = 5 e b = 4, podemos escrever a equação padrão da elipse centrada na origem, com o eixo maior no eixo x:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1 x^225 + y^216 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^225 + y^216 = 1

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