Explique de forma matemática do teorema de Green para o caso de fluídos de um campo de velocidade interpretando cada um dos seus elementos em dita fórmula, logo relacione esta fórmula com a equação de equlibrio para fluídos estácionários. Desenhe se você considera indispensável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar matematicamente o Teorema de Green aplicado a fluidos em um campo de velocidade. A gente vai interpretar cada elemento dessa fórmula e depois relacionar com a equação de equilíbrio para fluidos estacionários. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green, como ele se aplica aos campos de velocidade dos fluidos e como isso se conecta com o equilíbrio dos fluidos que não estão se movendo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. É um teorema da matemática que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. Matematicamente, ele é dado por:
Aqui,
é a curva fechada, e
é a região interior a
.
e
são funções que descrevem o campo vetorial.
Passo 3
No contexto dos fluidos, vamos relacionar
e
com os componentes do campo de velocidade. Suponha que o campo de velocidade seja $ \mathbf{v} = (u, v) $, onde
é a velocidade na direção
e
na direção
. Podemos então identificar
e
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green ao campo de velocidade, temos:
O lado esquerdo representa o trabalho do campo de velocidade ao longo da curva
, e o lado direito envolve a circulação rotacional do campo dentro da região
.
Passo 5
Agora, vamos interpretar os elementos dessa fórmula. A expressão $ \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} $ é conhecida como a componente
do rotacional do campo de velocidade $ \nabla \times \mathbf{v} $. No contexto de fluidos, isso está relacionado à vorticidade, que mede a tendência das partículas do fluido de girar.
Passo 6
Em seguida, vamos relacionar isso com a equação de equilíbrio para fluidos estacionários. Para fluidos em equilíbrio, a força resultante atuando sobre qualquer volume de fluido deve ser zero. Matemáticamente, isso é expresso pela equação de Navier-Stokes sem aceleração:
Onde
é a pressão,
a viscosidade e
as forças externas. No caso de equilíbrio estático, o termo de aceleração é zero, e a pressão compensa as forças externas.
Passo 7
Voltando ao Teorema de Green aplicado ao fluxo de velocidade, ao considerar o equilíbrio, a circulação do campo de velocidade ao redor da curva
está balanceada pela variação da vorticidade dentro da região
. Isso significa que, para manter o fluido em equilíbrio, a distribuição de velocidade deve ser tal que a circulação líquida seja nula, ou balanceada pelas forças envolvidas.
Resposta
Então, aplicando o Teorema de Green ao campo de velocidade em fluidos estacionários, interpretamos cada elemento do teorema como componentes do fluxo e da vorticidade do fluido. Isso nos permite relacionar a circulação do fluxo ao balanço das forças internas e externas, garantindo o equilíbrio do fluido. Em resumo, o Teorema de Green nos ajuda a entender como a distribuição de velocidade e vorticidade assegura que o fluido permaneça em estado estacionário.