Determine o fluxo atravessando o círculo unitário dos seguintes campos de fluidos:
F(x, y)=(x, y)
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o fluxo que atravessa o círculo unitário para o campo vetorial F(x, y) = (x, y). Além disso, precisamos dizer se esse campo tem fontes e que tipo delas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o fluxo e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. Imagina que o campo vetorial F representa um fluido em movimento. O fluxo é uma medida de quanto desse fluido está passando através de uma curva fechada, que nesse caso é o círculo unitário. Matematicamente, o fluxo é dado por uma integral de linha:
Fluxo = ointC F cdot n , ds
onde n é o vetor normal à curva C.

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para o fluxo, o teorema nos diz que:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD (nabla cdot F) , dA
onde nabla cdot F é a divergência do campo F.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo F(x, y) = (x, y). A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y
Substituindo:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y = 1 + 1 = 2

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que o fluxo é:
Fluxo = integral duplaD 2 , dA
A região D é o interior do círculo unitário, que tem área:
Área = pi r^2 = pi times 1^2 = pi Á
Portanto:
Fluxo = 2 times pi = 2pi

Passo 6

Por último, vamos ver se o campo F tem fontes. A divergência nabla cdot F = 2 é constante e positiva, o que indica que há fontes distribuídas uniformemente no campo. Ou seja, o campo está “saindo” de todos os pontos, caracterizando uma fonte uniforme.

Resposta

O fluxo que atravessa o círculo unitário é 2pi. O campo F(x, y) = (x, y) possui fontes uniformes.

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