Determine o fluxo atravessando o círculo unitário dos seguintes campos de fluidos:
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o fluxo que atravessa o círculo unitário para o campo vetorial
. Além disso, precisamos dizer se esse campo tem fontes e que tipo delas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o fluxo e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. Imagina que o campo vetorial
representa um fluido em movimento. O fluxo é uma medida de quanto desse fluido está passando através de uma curva fechada, que nesse caso é o círculo unitário. Matematicamente, o fluxo é dado por uma integral de linha:
onde
é o vetor normal à curva
.
Passo 3
Agora, para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para o fluxo, o teorema nos diz que:
onde
é a divergência do campo
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Substituindo:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que o fluxo é:
A região
é o interior do círculo unitário, que tem área:
Portanto:
Passo 6
Por último, vamos ver se o campo
tem fontes. A divergência
é constante e positiva, o que indica que há fontes distribuídas uniformemente no campo. Ou seja, o campo está “saindo” de todos os pontos, caracterizando uma fonte uniforme.
Resposta
O fluxo que atravessa o círculo unitário é
. O campo
possui fontes uniformes.