Calcular o fluxo:
F(x, y)=(x^2, x y), Q= quadrado de lados y=0, x=1, y=1, x=0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y) = (x^2, x y) através do quadrado Q com lados definidos por y=0, x=1, y=1, e x=0. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de fluxo e o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência do campo vetorial e depois aplicar uma integral dupla sobre a região do quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada representa a quantidade de “campo” que atravessa essa curva. Matematicamente, é dado por:
Fluxo = ointpartial Q F cdot n , ds
onde partial Q é a fronteira do quadrado, n é o vetor normal à fronteira, e ds é um elemento de comprimento ao longo da fronteira.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência do campo sobre a própria região. Ou seja:
ointpartial Q F cdot n , ds = integral duplaQ nabla cdot F , dA
Isso simplifica nosso trabalho porque, em vez de calcular uma integral de linha complicada, podemos calcular uma integral dupla mais direta.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (F1, F2) é dada por:
nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y
Aplicando isso ao nosso campo:
nabla cdot F = partial (x^2)partial x + partial (x y)partial y = 2x + x = 3x

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla sobre o quadrado Q. Como Q é definido por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, a integral fica:
integral duplaQ 3x , dA = integral0^1 integral0^1 3x , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^1 3x , dx = 3 [ x^22 ]0^1 = 3 ( 12 - 0 ) = 32
Em seguida, integramos em relação a y:
integral0^1 32 , dy = 32 [ y ]0^1 = 32 (1 - 0) = 32

Resposta

O fluxo é dfrac32.

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