Calcular o fluxo:
quadrado de lados
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o fluxo do campo vetorial
através do quadrado
com lados definidos por
,
,
, e
. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de fluxo e o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência do campo vetorial e depois aplicar uma integral dupla sobre a região do quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada representa a quantidade de “campo” que atravessa essa curva. Matematicamente, é dado por:
onde
é a fronteira do quadrado,
é o vetor normal à fronteira, e
é um elemento de comprimento ao longo da fronteira.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência do campo sobre a própria região. Ou seja:
Isso simplifica nosso trabalho porque, em vez de calcular uma integral de linha complicada, podemos calcular uma integral dupla mais direta.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla sobre o quadrado
. Como
é definido por
e
, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo é
.