Ache equação para a elipse cujos focos são (0,-4) e (0,4) e cuja excentricidade é 45.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem os focos nos pontos (0,-4) e (0,4), e a excentricidade é 45. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre elipses, e algumas fórmulas básicas que relacionam os parâmetros da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar alguns parâmetros importantes da elipse. Como os focos estão nos pontos (0,-4) e (0,4), isso significa que a elipse está centralizada na origem (0,0) e seus focos estão no eixo y. A distância de cada foco até o centro é c = 4.

Passo 3

Sabemos que a excentricidade e da elipse é dada pela relação e = ca, onde a é o semi-eixo maior (a distância do centro até o vértice mais distante). Aqui, a excentricidade é 45, então podemos montar a equação:
45 = ca
Substituindo c = 4:
45 = 4a

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar a:
45 = 4a implies a = 5
Então, o semi-eixo maior a vale 5.

Passo 5

Agora, vamos lembrar que em uma elipse, a relação entre a, b (semi-eixo menor) e c é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Já sabemos que c = 4 e a = 5. Vamos substituir esses valores:
4^2 = 5^2 - b^2 implies 16 = 25 - b^2

Passo 6

Resolvendo para b^2:
b^2 = 25 - 16 implies b^2 = 9
Portanto, b = 3.

Passo 7

Com os valores de a e b encontrados, podemos escrever a equação padrão da elipse, que está centrada na origem e com os focos no eixo y:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Substituindo a = 5 e b = 3:
x^29 + y^225 = 1

Resposta

A equação da elipse é x^29 + y^225 = 1.

Exercícios relacionados