Ache equação para a elipse cujos focos são
e
e cuja excentricidade é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem os focos nos pontos
e
, e a excentricidade é
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre elipses, e algumas fórmulas básicas que relacionam os parâmetros da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar alguns parâmetros importantes da elipse. Como os focos estão nos pontos
e
, isso significa que a elipse está centralizada na origem
e seus focos estão no eixo
. A distância de cada foco até o centro é
.
Passo 3
Sabemos que a excentricidade
da elipse é dada pela relação
, onde
é o semi-eixo maior (a distância do centro até o vértice mais distante). Aqui, a excentricidade é
, então podemos montar a equação:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Então, o semi-eixo maior
vale 5.
Passo 5
Agora, vamos lembrar que em uma elipse, a relação entre
,
(semi-eixo menor) e
é dada por:
Já sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores:
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto,
.
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a equação padrão da elipse, que está centrada na origem e com os focos no eixo
:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da elipse é
.