Ache equação para a elipse cujos focos são
e
e cuja excentricidade é
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo elipses. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em
e
, e cuja excentricidade é
. Para isso, vamos usar conceitos de elipses, como a definição de focos, a relação entre os parâmetros
,
e
, e a fórmula geral da equação de uma elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Nessa definição,
representa o semi-eixo maior,
o semi-eixo menor e
a distância do centro aos focos. A excentricidade
da elipse é dada pela relação
.
Passo 3
Sabemos que a equação geral de uma elipse com centro em
e eixo maior paralelo ao eixo x é:
Onde:
-
é o centro da elipse. -
é o semi-eixo maior. -
é o semi-eixo menor. -
é a distância de cada foco ao centro, e está relacionado por .
Passo 4
No nosso caso, os focos estão em
e
. Isso indica que o centro da elipse está no ponto médio entre os focos. Calculando o ponto médio:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 5
Sabemos também que a excentricidade
é
. Já que
, podemos expressar
em termos de
:
Mas, conforme a excentricidade dada, temos:
Passo 6
Usando a relação fundamental
, podemos isolar
:
Substituindo
na equação:
Passo 7
Agora, substituímos o centro
e as expressões de
e
na equação geral da elipse:
Substituindo
:
Resposta
A equação da elipse é: