Ache equação para a elipse cujos focos são (-c+x0, 0) e (c+x0, 0) e cuja excentricidade é ca.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo elipses. Precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos em (-c + x0, 0) e (c + x0, 0), e cuja excentricidade é ca. Para isso, vamos usar conceitos de elipses, como a definição de focos, a relação entre os parâmetros a, b e c, e a fórmula geral da equação de uma elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é definida como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Nessa definição, a representa o semi-eixo maior, b o semi-eixo menor e c a distância do centro aos focos. A excentricidade e da elipse é dada pela relação e = ca.

Passo 3

Sabemos que a equação geral de uma elipse com centro em (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo x é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • (h, k) é o centro da elipse.
  • a é o semi-eixo maior.
  • b é o semi-eixo menor.
  • c é a distância de cada foco ao centro, e está relacionado por c^2 = a^2 - b^2.

Passo 4

No nosso caso, os focos estão em (-c + x0, 0) e (c + x0, 0). Isso indica que o centro da elipse está no ponto médio entre os focos. Calculando o ponto médio:
h = (-c + x0) + (c + x0)2 = 2x02 = x0
k = 0 + 02 = 0
Então, o centro da elipse é (x0, 0).

Passo 5

Sabemos também que a excentricidade e é ca. Já que e = ca, podemos expressar c em termos de a:
c = e cdot a
Mas, conforme a excentricidade dada, temos:
e = ca Rightarrow c = e cdot a

Passo 6

Usando a relação fundamental c^2 = a^2 - b^2, podemos isolar b^2:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo c = e cdot a na equação:
b^2 = a^2 - (e cdot a)^2 = a^2 - e^2 a^2 = a^2 (1 - e^2)

Passo 7

Agora, substituímos o centro (h, k) e as expressões de a e b na equação geral da elipse:
(x - x0)^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo b^2 = a^2 (1 - e^2):
(x - x0)^2a^2 + y^2a^2 (1 - e^2) = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - x0)^2a^2 + y^2a^2 (1 - (ca)^2) = 1

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