Encontre f circ g e g circ f e determine seus domínios.
g(t)=t^2+raizt, f(x, y)=2 x+3 y-6

Passo 1

O enunciado dá duas funções: uma real de uma variável g(t)=t²+√t (domínio t≥0) e uma real de duas variáveis f(x,y)=2x+3y−6 (domínio R²). Vamos ver quais composições fazem sentido.

Passo 2

Para que f∘g exista, precisaríamos que a imagem de g fosse um par (x,y) para entrar em f. Mas g(t) devolve um único número, não um par. Logo f∘g não está definida.

Passo 3

Já g∘f é bem definida: primeiro calculamos f(x,y)=2x+3y−6, que é um número real, e depois aplicamos g nesse número. Assim
(gcirc f)(x,y)=l(f(x,y)r)^2+raizf(x,y)=l(2x+3y-6r)^2+raiz2x+3y-6

Passo 4

Para que a raiz fique válida, precisamos de 2x+3y−6≥0. Portanto o domínio de g∘f é o conjunto de todos (x,y)∈R² tais que 2x+3y−6≥0.

Resposta

f∘g não está definida (imagens/domínios incompatíveis);
g∘f(x,y)= (2x+3y−6)² + √(2x+3y−6), com domínio { (x,y)∈R² | 2x+3y−6 ≥ 0 }.

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