Ache equação para a elipse cujos focos são (-3,3) e (3,3) e passa pelo ponto (0,7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem seus focos em (-3,3) e (3,3) e que passa pelo ponto (0,7). Para isso, vamos usar os conceitos de elipse, como focos, centro, eixo maior e menor, e a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. A gente calcula a média das coordenadas dos focos:
Centro = ( -3 + 32, 3 + 32 ) = (0, 3)
Então, o centro da elipse é (0, 3).

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é 2c. A fórmula para calcular essa distância é a distância entre os pontos (-3,3) e (3,3):
2c = raiz(3 - (-3))^2 + (3 - 3)^2 = raiz6^2 + 0^2 = 6
Portanto, c = 3.

Passo 4

Sabendo que a elipse passa pelo ponto (0,7), vamos usar essa informação para encontrar o comprimento do eixo maior 2a. Na elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto aos dois focos é constante e igual a 2a.
Vamos calcular as distâncias do ponto (0,7) aos focos:
d1 = raiz(0 - (-3))^2 + (7 - 3)^2 = raiz3^2 + 4^2 = 5
d2 = raiz(0 - 3)^2 + (7 - 3)^2 = raiz3^2 + 4^2 = 5
Então, 2a = d1 + d2 = 5 + 5 = 10, ou seja, a = 5.

Passo 5

Com a = 5 e c = 3, podemos encontrar o comprimento do eixo menor 2b usando a relação da elipse:
a^2 = b^2 + c^2 implies 5^2 = b^2 + 3^2 implies 25 = b^2 + 9 implies b^2 = 16 implies b = 4
Então, b = 4.

Passo 6

Agora que temos a, b e o centro da elipse, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, a equação é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo h = 0, k = 3, a = 5 e b = 4:
x^225 + (y - 3)^216 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^225 + (y - 3)^216 = 1

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