Ache equação para a elipse cujos focos são
e
e passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma elipse que tem seus focos em
e
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar os conceitos de elipse, como focos, centro, eixo maior e menor, e a relação entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. A gente calcula a média das coordenadas dos focos:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é
. A fórmula para calcular essa distância é a distância entre os pontos
e
:
Portanto,
.
Passo 4
Sabendo que a elipse passa pelo ponto
, vamos usar essa informação para encontrar o comprimento do eixo maior
. Na elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto aos dois focos é constante e igual a
.
Vamos calcular as distâncias do ponto
aos focos:
Então,
, ou seja,
.
Passo 5
Com
e
, podemos encontrar o comprimento do eixo menor
usando a relação da elipse:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
,
e o centro da elipse, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, a equação é:
Substituindo
,
,
e
:
Resposta
A equação da elipse é: