Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite, se existir, de
quando
tende para
. Isso envolve conceitos de cálculo de limites em várias variáveis e álgebra para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e termos que vão para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Observamos que no numerador temos
e no denominador
. Para simplificar, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador.
Passo 3
A conjugada de
é
. Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por essa conjugada:
Passo 4
No denominador, ao multiplicar as duas expressões conjugadas, vamos usar a identidade
. Assim:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, podemos simplificar
no numerador e denominador:
Então, nosso limite agora é:
Passo 6
Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento de
quando
e
vão para infinito. Sabemos que, para grandes valores de
e
, o termo
dentro da raiz se torna insignificante, então:
Onde
, que tende para infinito.
Passo 7
Portanto, a expressão
tende a
, onde
vai para infinito. Então, o limite é infinito.
Resposta
O limite é infinito.