Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (infty, infty) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos o limite, se existir, de x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 quando (x, y) tende para (infty, infty). Isso envolve conceitos de cálculo de limites em várias variáveis e álgebra para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e termos que vão para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Observamos que no numerador temos x^2 + y^2 e no denominador raizx^2+y^2+1 - 1. Para simplificar, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denominador.

Passo 3

A conjugada de raizx^2+y^2+1 - 1 é raizx^2+y^2+1 + 1. Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por essa conjugada:
x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 times raizx^2+y^2+1+1raizx^2+y^2+1+1

Passo 4

No denominador, ao multiplicar as duas expressões conjugadas, vamos usar a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Assim:
(raizx^2+y^2+1)^2 - 1^2 = x^2 + y^2 + 1 - 1 = x^2 + y^2
Então, a expressão fica:
(x^2+y^2)(raizx^2+y^2+1+1)x^2+y^2

Passo 5

Agora, podemos simplificar x^2+y^2 no numerador e denominador:
raizx^2+y^2+1 + 1
Então, nosso limite agora é:
lim (x, y) (infty, infty) ( raizx^2+y^2+1 + 1 )

Passo 6

Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento de raizx^2+y^2+1 quando x e y vão para infinito. Sabemos que, para grandes valores de x e y, o termo 1 dentro da raiz se torna insignificante, então:
raizx^2+y^2+1 approx raizx^2+y^2 = raizr^2 = r
Onde r = raizx^2+y^2, que tende para infinito.

Passo 7

Portanto, a expressão raizx^2+y^2+1 + 1 tende a r + 1, onde r vai para infinito. Então, o limite é infinito.

Resposta

O limite é infinito.

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