Ache equação para a elipse cujos focos são
e
e cuja excentricidade é
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre elipses, que faz parte da matéria de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse sabendo onde estão seus focos e a sua excentricidade. Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam os elementos da elipse, como os focos, o eixo maior, o eixo menor e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde estão os focos da elipse. Os focos são
e
. Isso significa que a elipse está centrada no ponto
no plano cartesiano, porque os focos estão igualmente distantes desse ponto ao longo do eixo y.
Passo 3
Sabemos que a excentricidade
de uma elipse é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a distância do centro aos focos, -
é o raio maior (semi-eixo maior).
Dado que a excentricidade é
, já temos a relação entre
e
.
Passo 4
A equação padrão de uma elipse com centro em
e eixo maior vertical é:
Onde:
-
é o semi-eixo maior, -
é o semi-eixo menor.
No nosso caso, o centro
é
, então a equação fica:
Passo 5
Sabemos que em uma elipse, a relação entre
,
e
é:
E como a excentricidade
, podemos substituir
na equação:
Passo 6
Substituindo
na equação da elipse:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 7
Agora, vamos substituir a excentricidade
por
:
Então:
Resposta
A equação da elipse é: