Ache equação para a elipse cujos focos são (0,-c+y0) e (0, c+y0) e cuja excentricidade é ca.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre elipses, que faz parte da matéria de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse sabendo onde estão seus focos e a sua excentricidade. Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam os elementos da elipse, como os focos, o eixo maior, o eixo menor e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão os focos da elipse. Os focos são e . Isso significa que a elipse está centrada no ponto no plano cartesiano, porque os focos estão igualmente distantes desse ponto ao longo do eixo y.

Passo 3

Sabemos que a excentricidade e = ca de uma elipse é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a distância do centro aos focos,
  • é o raio maior (semi-eixo maior).
Dado que a excentricidade é , já temos a relação entre e .

Passo 4

A equação padrão de uma elipse com centro em (x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1 e eixo maior vertical é:
x^2b^2 + (y - y0)^2a^2 = 1
Onde:
  • é o semi-eixo maior,
  • é o semi-eixo menor.
No nosso caso, o centro é , então a equação fica:

Passo 5

Sabemos que em uma elipse, a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , (e cdot a1)^2 = a^2 - b^2 e e^2 cdot a^2 = a^2 - b^2 é:
b^2 = a^2 (1 - e^2)
E como a excentricidade , podemos substituir na equação:

Passo 6

Substituindo x^2a^2 (1 - e^2) + (y - y0)^2a^2 = 1 na equação da elipse:
x^2a^2 (1 - e^2) + (y - y0)^2a^2 = 1
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 7

Agora, vamos substituir a excentricidade 1 - e^2 = 1 - (ca)^2 = a^2 - c^2a^2 por x^2a^2 cdot a^2 - c^2a^2 + (y - y0)^2a^2 = 1 :
x^2a^2 - c^2 + (y - y0)^2a^2 = 1
Então:

Resposta

A equação da elipse é:
x^2a^2 - c^2 + (y - y0)^2a^2 = 1

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