Ache equação para a hipérbole cujos focos são (-5,3) e (5,3) e passa pelo ponto (3,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole que tem focos em (-5,3) e (5,3) e passa pelo ponto (3,3). O conteúdo envolvido é a geometria das cônicas, mais especificamente a definição e equação da hipérbole com eixo transverso horizontal e relação entre os parâmetros a, b e c.

Passo 2

Para hipérboles com eixo transverso horizontal, a forma canônica é
(x-h)^2a^2;- (y-k)^2b^2=1
onde (h,k) é o centro. Como os focos estão simetricamente em (-5,3) e (5,3), o centro é o ponto médio:
O ponto médio entre os focos é
(h,k)=l(-5+52,3+32r)=(0,3)
A distância focal total é 10, logo cada c (distância do centro a um foco) vale 5, ou seja c^2=25.

Passo 3

Como a hipérbole passa por (3,3), substituímos na forma canônica:
O ponto (3,3) dá y-k=3-3=0, então
(3-0)^2a^2-0=1
isto é 9/a^2=1, logo a^2=9.
Usando a relação clássica da hipérbole c^2=a^2+b^2, temos
25=9+b^2
logo b^2=16.

Passo 4

Portanto, substituindo h=0, k=3, a^2=9 e b^2=16 na forma canônica, obtemos a equação desejada.

Resposta

x^29-(y-3)^216=1

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