Ache equação para a hipérbole cujos focos são
e
e passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da hipérbole que tem focos em (-5,3) e (5,3) e passa pelo ponto (3,3). O conteúdo envolvido é a geometria das cônicas, mais especificamente a definição e equação da hipérbole com eixo transverso horizontal e relação entre os parâmetros a, b e c.
Passo 2
Para hipérboles com eixo transverso horizontal, a forma canônica é
onde (h,k) é o centro. Como os focos estão simetricamente em (-5,3) e (5,3), o centro é o ponto médio:
O ponto médio entre os focos é
O ponto médio entre os focos é
A distância focal total é 10, logo cada c (distância do centro a um foco) vale 5, ou seja
.
Passo 3
Como a hipérbole passa por (3,3), substituímos na forma canônica:
O ponto (3,3) dá , então
O ponto (3,3) dá
isto é
, logo
.
Usando a relação clássica da hipérbole , temos
Usando a relação clássica da hipérbole
logo
.
Passo 4
Portanto, substituindo h=0, k=3, a^2=9 e b^2=16 na forma canônica, obtemos a equação desejada.