Determine o fluxo atravessando o círculo unitário dos seguintes campos de fluidos:
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de fluidos definido por
. Precisamos determinar o fluxo que esse campo atravessa o círculo unitário. Além disso, devemos verificar se esse campo possui fontes e especificar o tipo delas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo e divergência de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada representa a quantidade de “fluido” que atravessa essa curva. Matemáticamente, para um campo
e uma curva
, o fluxo
é dado por:
onde
é o vetor normal à curva.
Passo 3
Uma maneira mais fácil de calcular o fluxo é usar o teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss em 2D), que relaciona o fluxo através de uma curva fechada com a divergência do campo dentro da região limitada por essa curva. Em 2D, o teorema da divergência é:
onde
é a região interior à curva
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Passo 5
Agora, aplicando o teorema da divergência, temos:
A área do círculo unitário é
.
Passo 6
Portanto, o fluxo é:
Passo 7
Agora, vamos analisar se o campo
possui fontes. A divergência constante de
indica que há uma fonte (no caso, uma “fonte negativa” ou sumidouro) em todos os pontos do espaço. Especificamente, no centro do círculo, temos um sumidouro de intensidade 2.
Resposta
O fluxo que atravessa o círculo unitário do campo
é
. Esse campo possui uma fonte negativa (sumidouro) de intensidade 2 no centro.