Determine o fluxo atravessando o círculo unitário dos seguintes campos de fluidos:
F(x, y)=(-x,-y)
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de fluidos definido por F(x, y) = (-x, -y). Precisamos determinar o fluxo que esse campo atravessa o círculo unitário. Além disso, devemos verificar se esse campo possui fontes e especificar o tipo delas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo e divergência de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada representa a quantidade de “fluido” que atravessa essa curva. Matemáticamente, para um campo F e uma curva C, o fluxo Phi é dado por:
Phi = ointC F cdot n , ds
onde n é o vetor normal à curva.

Passo 3

Uma maneira mais fácil de calcular o fluxo é usar o teorema da divergência (também conhecido como teorema de Gauss em 2D), que relaciona o fluxo através de uma curva fechada com a divergência do campo dentro da região limitada por essa curva. Em 2D, o teorema da divergência é:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD (nabla cdot F) , dA
onde D é a região interior à curva C.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo F(x, y) = (-x, -y). A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial (-x)partial x + partial (-y)partial y = -1 + (-1) = -2

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da divergência, temos:
Phi = integral duplaD (-2) , dA = -2 times Área do círculo unitário Áíá
A área do círculo unitário é pi r^2 = pi (1)^2 = pi.

Passo 6

Portanto, o fluxo é:
Phi = -2 times pi = -2pi

Passo 7

Agora, vamos analisar se o campo F possui fontes. A divergência constante de -2 indica que há uma fonte (no caso, uma “fonte negativa” ou sumidouro) em todos os pontos do espaço. Especificamente, no centro do círculo, temos um sumidouro de intensidade 2.

Resposta

O fluxo que atravessa o círculo unitário do campo F(x, y) = (-x, -y) é -2pi. Esse campo possui uma fonte negativa (sumidouro) de intensidade 2 no centro.

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