Ache equação para a hipérbole cujos focos são (0,-5) e (0,5) e cuja excentricidade é 54.

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são (0,–5) e (0,5) e cuja excentricidade é tfrac54. O conteúdo principal é hipérbole com eixo transverso vertical e vamos precisar das relações geométricas: e=tfracca e c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Os focos estão em (0,±5), então o centro da hipérbole é o ponto médio: (0,0). A distância do centro a cada foco é c=5.

Passo 3

Usamos a definição de excentricidade e=tfracca. Como e=tfrac54 e c=5, temos
a=ce=55/4=4

Passo 4

Pela relação c^2=a^2+b^2, calculamos
b^2=c^2-a^2=25-16=9,
e portanto b=3.

Passo 5

Como os focos estão no eixo y, a equação padrão é y^2a^2-x^2b^2=1. Substituindo a^2=16 e b^2=9 obtemos:
y^216-x^29=1

Resposta

y^216-x^29=1

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