Ache equação para a elipse cujos focos são (-3,-1) e (5,-1) e passa pelo ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são (-3,-1) e (5,-1) e que passa pelo ponto (1,2). Vamos usar a definição de elipse como o lugar geométrico dos pontos em que a soma das distâncias aos focos é constante. Para isso, precisamos achar o centro, o valor de c (distância focal), depois a (semi-eixo maior) e b (semi-eixo menor).

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculamos:
l(-3+52,-1+(-1)2r)=(1,-1)
A distância c do centro até cada foco é:
$$
c=\sqrt{(1-(-3))2+(-1-(-1))2}=\sqrt{42+02}=4$$

Passo 3

Para achar a, usamos o ponto (1,2). A soma das distâncias até os focos é
raiz(1+3)^2+(2+1)^2+raiz(1-5)^2+(2+1)^2=raiz4^2+3^2+raiz(-4)^2+3^2=5+5=10
Logo, 2a=10 e a=5.
Pela relação da elipse c^2=a^2-b^2, temos
$$
b2=a2-c^2=25-16=9\quad\Rightarrow\quad b=3.$$

Passo 4

Como o eixo maior é horizontal, a forma canônica centrada em (1,-1) é
(x-1)^2a^2+(y+1)^2b^2=1
Substituindo a^2=25 e b^2=9, obtemos a equação final.

Resposta

(x-1)^225+(y+1)^29=1

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