Ache equação para a elipse cujos focos são
e
e passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são
e
e que passa pelo ponto
. Vamos usar a definição de elipse como o lugar geométrico dos pontos em que a soma das distâncias aos focos é constante. Para isso, precisamos achar o centro, o valor de
(distância focal), depois
(semi-eixo maior) e
(semi-eixo menor).
Passo 2
O centro da elipse é o ponto médio dos focos. Calculamos:
A distância
$$
c=\sqrt{(1-(-3))2+(-1-(-1))2}=\sqrt{42+02}=4$$
Passo 3
Para achar
, usamos o ponto
. A soma das distâncias até os focos é
Logo,
Pela relação da elipse
$$
b2=a2-c^2=25-16=9\quad\Rightarrow\quad b=3.$$
Passo 4
Como o eixo maior é horizontal, a forma canônica centrada em
é
Substituindo