Determine o fluxo atravessando o círculo unitário dos seguintes campos de fluidos:
F(x, y)=(-y, x)
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular o fluxo que atravessa o círculo unitário para o campo de fluidos F(x, y) = (-y, x). Além disso, precisamos identificar se esse campo possui fontes e especificar o tipo de fonte caso exista. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo e divergência de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiramente, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada mede a quantidade de “fluido” que passa por essa curva. Matematicamente, para um campo F e uma curva C, o fluxo Phi é dado por:
Phi = ointC F cdot n , ds
onde n é o vetor normal à curva C e ds é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular o fluxo através do círculo unitário, podemos utilizar o Teorema de Green. Esse teorema permite converter a integral de linha (fluxo) em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. O Teorema de Green é dado por:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD ( partial Fxpartial x + partial Fypartial y ) dx , dy
Aqui, F = (Fx, Fy), então precisamos calcular a divergência de F.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F:
div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y
Substituindo os componentes do campo:
F(x, y) = (-y, x)
Temos:
partial Fxpartial x = partial (-y)partial x = 0
partial Fypartial y = partial xpartial y = 0
Portanto:
div , F = 0 + 0 = 0

Passo 5

Como a divergência de F é zero, a integral dupla fica:
Phi = integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Isso significa que o fluxo através do círculo unitário é zero. Além disso, como a divergência é zero em toda a região, o campo não possui fontes nem sumidouros.

Resposta

O fluxo atravessando o círculo unitário para o campo F(x, y) = (-y, x) é zero. Além disso, esse campo não possui fontes.

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