Determine o fluxo atravessando o círculo unitário dos seguintes campos de fluidos:
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.
Diga, para cada um deles, se tem ou não fontes e especifique o tipo da fonte.
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular o fluxo que atravessa o círculo unitário para o campo de fluidos
. Além disso, precisamos identificar se esse campo possui fontes e especificar o tipo de fonte caso exista. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como fluxo e divergência de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada mede a quantidade de “fluido” que passa por essa curva. Matematicamente, para um campo
e uma curva
, o fluxo
é dado por:
onde
é o vetor normal à curva
e
é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular o fluxo através do círculo unitário, podemos utilizar o Teorema de Green. Esse teorema permite converter a integral de linha (fluxo) em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. O Teorema de Green é dado por:
Aqui,
, então precisamos calcular a divergência de
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
:
Substituindo os componentes do campo:
Temos:
Portanto:
Passo 5
Como a divergência de
é zero, a integral dupla fica:
Isso significa que o fluxo através do círculo unitário é zero. Além disso, como a divergência é zero em toda a região, o campo não possui fontes nem sumidouros.
Resposta
O fluxo atravessando o círculo unitário para o campo
é zero. Além disso, esse campo não possui fontes.