Ache equação para a hipérbole cujos focos são (0,-c+y0) e (0, c+y0) e cuja excentricidade é ca.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com focos em (0,-c+y0) e (0,c+y0) e excentricidade e=ca. O conteúdo principal é geometria analítica de cônicas, especificamente hipérboles, e vamos precisar da forma canônica, da relação c^2=a^2+b^2 e da definição de excentricidade.

Passo 2

Os focos estão localizados em (0,y0pm c), logo o centro da hipérbole é (0,y0) e o eixo transverso é vertical. A forma canônica de uma hipérbole vertical, centrada em (h,k), é
(y-k)^2a^2 - (x-h)^2b^2 = 1

Passo 3

Aqui temos h=0 e k=y0, logo
(y-y0)^2a^2 - x^2b^2 = 1

Passo 4

Pela definição de excentricidade e=ca e pela relação entre os semi-eixos em uma hipérbole,
c^2 = a^2 + b^2,
isolamos b^2:
b^2 = c^2 - a^2

Passo 5

Substituindo esse valor de b^2 na forma canônica acima, obtemos a equação desejada.

Resposta

(y-y0)^2a^2 - x^2c^2 - a^2 = 1

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