Calcule.
integral x^2 raizln x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral indefinida integral x^2raizln x,dx. O conteúdo envolve técnicas de substituição em integrais e o reconhecimento de funções especiais (a função erro imaginária erfi).

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição t=raizln x. Assim temos:
ln x = t^2, x= e^t^2, dx = 2t,e^t^2,dt, x^2=e^2t^2

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral x^2raizln x,dx = integral e^2t^2,t,(2t,e^t^2,dt) = integral 2t^2e^3t^2,dt

Passo 4

Para integrar integral 2t^2e^3t^2,dt, observamos que a derivada de t e^3t^2 é
ddtl(t e^3t^2r)=e^3t^2 +6t^2e^3t^2Longrightarrow 6t^2e^3t^2=ddt(t e^3t^2)-e^3t^2

Passo 5

Logo,
2t^2e^3t^2=13ddt(t e^3t^2)-13e^3t^2
Integramos ambos os lados:
integral 2t^2e^3t^2,dt = 13t e^3t^2 - 13integral e^3t^2,dt

Passo 6

Reconhecemos que
integral e^3t^2,dt = raizpi2raiz3,erfi(raiz3t)+C

Passo 7

Voltando à variável x via t=raizln x, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

integral x^2raizln x,dx = 13x^3raizln x - raizpi6raiz3,erfil(raiz3ln xr) + C

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