Ache equação para a hipérbole cujos focos são (-3,-6) e (-3,4) e passa pelo ponto (-3,3).

Passo 1

Temos uma hipérbole cujos focos são (-3,-6) e (-3,4) e que passa por (-3,3). O conteúdo é equação reduzida de hipérbole com eixos alinhados aos eixos cartesianos. Para resolver, precisamos achar o centro, o valor de c (distância do centro aos focos), o valor de a (distância do centro a um vértice) e, então, determinar b a partir da relação c^2 = a^2 + b^2. No fim, montamos a forma padrão da hipérbole.

Passo 2

O centro (h,k) da hipérbole é o ponto médio entre os focos. Calculamos as médias das coordenadas: h = -3 + (-3)2 = -3, k = -6 + 42 = -1Logo, o centro é (-3,-1).

Passo 3

A distância c do centro a cada foco é a diferença na coordenada y, pois ambas têm x=-3: c = |yfoco - k| = |-6 - (-1)| = 5Portanto, c = 5 e c^2 = 25.

Passo 4

Como os focos estão dispostos verticalmente (mesmo x), a hipérbole tem eixo transverso vertical. A forma padrão é

Passo 5

O ponto (-3,3) está na hipérbole e também no eixo transverso ( x=-3), logo é um vértice. A distância do centro a esse ponto dá a:
a = |3 - (-1)| = 4,
portanto a^2 = 16.

Passo 6

Usamos a relação fundamental c^2 = a^2 + b^2 para encontrar b^2:
25 = 16 + b^2 implies b^2 = 9

Resposta

(y + 1)^216 - (x + 3)^29 = 1

Exercícios relacionados