Calcule.
integralpi4^pi2 sin ^5(2 x) cos ^3(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralpi/4^pi/2 sin^5(2x),cos^3(2x),dx
Isso envolve potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade cos^2(2x)=1-sin^2(2x) e uma substituição do tipo u=sin(2x).

Passo 2

Reescrevo sin^5(2x),cos^3(2x) extraindo um fator cos(2x):
$$\sin5(2x),\cos3(2x)=\sin5(2x),\bigl(\cos2(2x)\bigr),\cos(2x)
=\sin5(2x),(1-\sin2(2x)),\cos(2x).$$

Passo 3

Faço a substituição
$$u=\sin(2x),\quad du=2\cos(2x),dx\ \Longrightarrow\ \cos(2x),dx=\frac{du}{2}.
u=sin(2x), du=2cos(2x),dx Longrightarrow cos(2x),dx=du2 \int \sin5(2x),\cos3(2x),dx
=\int \sin5(2x)(1-\sin2(2x)),\cos(2x),dx
=\frac12\int u5(1-u2),du.
$$

Passo 4

Expando e integro em u:
12integral (u^5 - u^7),du =12l(u^66-u^88r)+C =u^612-u^816+C

Passo 5

Volto à variável x e aplico os limites. A primitiva é
$$F(x)=\frac{\sin6(2x)}{12}-\frac{\sin8(2x)}{16}.
F(x)=sin^6(2x)12-sin^8(2x)16 F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)
=\Bigl(0-0\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{16}\Bigr)
=-\Bigl(\tfrac{4}{48}-\tfrac{3}{48}\Bigr)
=-\tfrac{1}{48}.
$$

Resposta

-\tfrac{1}{48}

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