Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Isso envolve potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade
Passo 2
Reescrevo
extraindo um fator
:
$$\sin5(2x),\cos3(2x)=\sin5(2x),\bigl(\cos2(2x)\bigr),\cos(2x)
=\sin5(2x),(1-\sin2(2x)),\cos(2x).$$
Passo 3
Faço a substituição
$$u=\sin(2x),\quad du=2\cos(2x),dx\ \Longrightarrow\ \cos(2x),dx=\frac{du}{2}.
=\int \sin5(2x)(1-\sin2(2x)),\cos(2x),dx
=\frac12\int u5(1-u2),du.
=\frac12\int u5(1-u2),du.
$$
Passo 4
Expando e integro em
:
Passo 5
Volto à variável
e aplico os limites. A primitiva é
$$F(x)=\frac{\sin6(2x)}{12}-\frac{\sin8(2x)}{16}.
=\Bigl(0-0\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{16}\Bigr)
=-\Bigl(\tfrac{4}{48}-\tfrac{3}{48}\Bigr)
=-\tfrac{1}{48}.
=-\Bigl(\tfrac{4}{48}-\tfrac{3}{48}\Bigr)
=-\tfrac{1}{48}.
$$
Resposta
-\tfrac{1}{48}