Calcular o fluxo:
metade superior do círculo unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a região
, que é a metade superior do círculo unitário. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região. Vamos usar esse teorema e entender direitinho cada parte para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma curva. O fluxo mede a quantidade de “fluido” que passa pela curva. Matematicamente, para um campo vetorial
, o fluxo através de uma curva fechada
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à curva
e
é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, para facilitar os cálculos, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a região
limitada pela curva
. O Teorema de Green para o fluxo é:
No nosso caso,
, então
e
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo vetorial, que está dentro da integral dupla:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da região
, que é a metade superior do círculo unitário. A área de um círculo completo é
. Como o raio
, a área total é
. Como queremos só a metade, a área de
é:
Passo 6
Substituindo a área na integral dupla:
Resposta
O fluxo é igual a
.