Calcular o fluxo:
F(x, y)=(x, y), R= metade superior do círculo unitário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y) = (x, y) sobre a região R, que é a metade superior do círculo unitário. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre uma região. Vamos usar esse teorema e entender direitinho cada parte para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma curva. O fluxo mede a quantidade de “fluido” que passa pela curva. Matematicamente, para um campo vetorial F = (P, Q), o fluxo através de uma curva fechada C é dado por:
Fluxo = ointC F cdot n , ds
Aqui, n é o vetor normal à curva C e ds é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a região R limitada pela curva C. O Teorema de Green para o fluxo é:
ointC F cdot n , ds = integral duplaR ( partial Ppartial x + partial Qpartial y ) dA
No nosso caso, F(x, y) = (x, y), então P = x e Q = y.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo vetorial, que está dentro da integral dupla:
partial Ppartial x + partial Qpartial y = partial xpartial x + partial ypartial y = 1 + 1 = 2
Então, a integral dupla fica:
integral duplaR 2 , dA

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da região R, que é a metade superior do círculo unitário. A área de um círculo completo é pi r^2. Como o raio r = 1, a área total é pi. Como queremos só a metade, a área de R é:
Área de R = pi2 Á

Passo 6

Substituindo a área na integral dupla:
integral duplaR 2 , dA = 2 times pi2 = pi

Resposta

O fluxo é igual a pi.

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