Mostre que a função
admite um máximo local na origem.
Passo 1
A função dada é
, e o objetivo é mostrar que ela tem um máximo local em
. O conteúdo aqui é extre
admos de funções de duas variáveis: vamos achar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e usar o teste da matriz Hessiana para definir se é máxi
admo ou mínimo.
admos de funções de duas variáveis: vamos achar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e usar o teste da matriz Hessiana para definir se é máxi
admo ou mínimo.
Passo 2
Para achar pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Como
com
, temos derivada de
por
:
e, análogamente,
Agora avaliamos o gradiente em
. Como
,
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Passo 3
Para decidir se é máximo ou mínimo, construímos a matriz Hessiana de
. Primeiro as segundas derivadas:
$$
f_{yy}(x,y) = -2\cos(r^2) + 4y2\sin(r2),
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\cos(r2)\bigr)=4xy\sin(r2).
f_{xx}(0,0)=f_{yy}(0,0)=-2,\quad f_{xy}(0,0)=0.
Hf(0,0)=
,$$
cuja autovalores são e
, ambos negativos. Isso implica que a Hessiana é definida negativa, e pelo teste do segundo derivado temos um máximo local em
.
cuja autovalores são
Resposta
A origem é ponto de máximo local estrito de
, pois a Hessiana em
é definida negativa.