Mostre que a função f(x, y)=12-sin (x^2+y^2) admite um máximo local na origem.

Passo 1

A função dada é f(x,y)=tfrac12 - sin(x^2+y^2), e o objetivo é mostrar que ela tem um máximo local em (0,0). O conteúdo aqui é extre
admos de funções de duas variáveis: vamos achar pontos críticos (onde o gradiente é nulo) e usar o teste da matriz Hessiana para definir se é máxi
admo ou mínimo.

Passo 2

Para achar pontos críticos, primeiro calculamos as derivadas parciais. Como f(x,y)=tfrac12 - sin(r^2) com r^2=x^2+y^2, temos derivada de -sin(r^2) por x:
partial fpartial x(x,y) = -cos(x^2+y^2) cdot 2x,
e, análogamente,
partial fpartial y(x,y) = -cos(x^2+y^2) cdot 2y
Agora avaliamos o gradiente em (0,0). Como cos(0)=1,
partial fpartial x(0,0) = -1 cdot 2cdot 0 = 0,
partial fpartial y(0,0) = -1 cdot 2cdot 0 = 0
Logo nabla f(0,0)=(0,0), isto é, (0,0) é ponto crítico.

Passo 3

Para decidir se é máximo ou mínimo, construímos a matriz Hessiana de f. Primeiro as segundas derivadas:
fxx(x,y) = partialpartial xl(-2xcos(r^2)r) = -2cos(r^2) + 4x^2sin(r^2),
$$
f_{yy}(x,y) = -2\cos(r^2) + 4y2\sin(r2), fyy(x,y) = -2cos(r^2) + 4y^2sin(r^2),
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\cos(r2)\bigr)=4xy\sin(r2). fxy(x,y)=partialpartial yl(-2xcos(r^2)r)=4xysin(r^2)
f_{xx}(0,0)=f_{yy}(0,0)=-2,\quad f_{xy}(0,0)=0. (0,0)é
Hf(0,0)= x,$$
cuja autovalores são y e sin(0)=0, ambos negativos. Isso implica que a Hessiana é definida negativa, e pelo teste do segundo derivado temos um máximo local em fxx(0,0)=fyy(0,0)=-2, fxy(0,0)=0.

Resposta

A origem é ponto de máximo local estrito de f, pois a Hessiana em (0,0) é definida negativa.

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