Ache a equação da hipérbole que tem vértices em
(0, pm 2) e focos em (0, pm raiz13).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com vértices em (0,pm2) e focos em (0,pmraiz13). Como os vértices estão ao longo do eixo y, trata-se de uma hipérbole com eixo transverso vertical, centrada no ponto médio dos vértices. Vamos usar a relação
c^2 = a^2 + b^2
entre os parâmetros a, b e c para determinar a equação na forma padrão.

Passo 2

Calculamos o centro como o ponto médio dos vértices (0,2) e (0,-2):
l(tfrac0+02,,tfrac2+(-2)2r) = (0,0)
Logo, a hipérbole é centrada em (0,0).

Passo 3

O valor de a é a distância do centro a cada vértice:
a = 2, a^2 = 4
O valor de c é a distância do centro a cada foco:
c = raiz13, c^2 = 13

Passo 4

Da relação c^2 = a^2 + b^2 vem
b^2 = c^2 - a^2 = 13 - 4 = 9

Passo 5

Para hipérbole vertical centrada em (0,0) a forma padrão é
y^2a^2 ;-;x^2b^2 = 1
Substituindo a^2=4 e b^2=9 obtemos
y^24 ;-;x^29 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é
y^24 - x^29 = 1

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