Prove que
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=\mathfrak{C}[0,1],||f||=\max _{0 \leq x \leq 1}{f(x)}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial

das funções reais contínuas em e a aplicação
e pede para mostrar que satisfaz as três propriedades de norma:
  1. Não-negatividade e definitude: e .
  2. Homogeneidade absoluta: .
  3. Desigualdade triangular: .

Passo 2

Não-negatividade e definitude.
Como f é contínua em [0,1], pelo Teorema de Weierstrass ela atinge máximo e mínimo, logo
|f|=max[0,1]|f(x)| é bem definida.
(1) Obviamente l|f(x)r|>=0 para todo x, logo |f|>=0.
(2) Se |f|=0, então max[0,1]|f(x)|=0 implica |f(x)|=0 para todo x, isto é, f(x)=0 em [0,1].
Reciprocamente, se fequiv0, então |f|=0.

Passo 3

Homogeneidade absoluta.
Para e , temos

Passo 4

Desigualdade triangular.
Para e todo , usa-se a desigualdade triangular em :
Tomando máximo em ,
Mas para quaisquer funções , vale
.
Assim

Resposta

Portanto, |cdot| satisfaz positividade, homogeneidade e desigualdade triangular, ou seja, é de fato uma norma em C[0,1].

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