Prove que
(|
\cdot|
) define uma norma no espaço vetorial
(V
)
(V=\mathfrak{C}[0,1],||f||=\max _{0 \leq x \leq 1}{f(x)}).
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções reais contínuas em e a aplicação
e pede para mostrar que satisfaz as três propriedades de norma:
Não-negatividade e definitude: e .
Homogeneidade absoluta: .
Desigualdade triangular: .
Passo 2
Não-negatividade e definitude.
Como é contínua em , pelo Teorema de Weierstrass ela atinge máximo e mínimo, logo é bem definida.
(1) Obviamente para todo x, logo |f|>=0.
(2) Se |f|=0, então max[0,1]|f(x)|=0 implica |f(x)|=0 para todo x, isto é, f(x)=0 em [0,1].
Reciprocamente, se fequiv0, então |f|=0.
Passo 3
Homogeneidade absoluta.
Para e , temos
Passo 4
Desigualdade triangular.
Para e todo , usa-se a desigualdade triangular em :
Tomando máximo em ,
Mas para quaisquer funções , vale .
Assim
Resposta
Portanto, |cdot| satisfaz positividade, homogeneidade e desigualdade triangular, ou seja, é de fato uma norma em C[0,1].