Ache a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de cada função no ponto indicado
)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
f(x,y)=e^x^2+2y^2
no ponto (0,0,1).
Conteúdo: geometria de superfícies em R^3. Vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente, montar a equação do plano tangente e, a partir do vetor normal, escrever a reta normal.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y) =partialpartial xe^x^2+2y^2 =2x,e^x^2+2y^2,
fy(x,y) =partialpartial ye^x^2+2y^2 =4y,e^x^2+2y^2
No ponto (0,0) temos
fx(0,0)=2cdot0cdot e^0=0, fy(0,0)=4cdot0cdot e^0=0

Passo 3

A equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui (x0,y0,z0)=(0,0,1) e fx(0,0)=fy(0,0)=0, logo
z - 1 = 0cdot(x-0) + 0cdot(y-0) ;Longrightarrow; z = 1

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente pode ser tomado como
l(-fx(x0,y0),, -fy(x0,y0),,1r) =(0,0,1)
A reta normal em (0,0,1) com direção (0,0,1) tem forma paramétrica
x = 0, y = 0, z = 1 + t, tinR

Resposta

Plano tangente:
z = 1
Reta normal (paramétrica):
x(t) = 0, y(t) = 0, z(t) = 1 + t

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