(2,5 pts) Seja
. Calcule
, onde
é a elipse
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
com
e
é a elipse
orientada no sentido anti-horário. Vamos usar decomposição em dois campos e depois aplicar propriedades de campos conservativos e o Teorema de Green.
Passo 2
Separamos
com
Então
Passo 3
O campo
é gradiente de
pois
Logo
num percurso fechado que volta ao ponto de partida.
num percurso fechado que volta ao ponto de partida.
Passo 4
Para
usamos o Teorema de Green:
Aqui
é o interior da elipse
, cuja área é
. Portanto