(2,5 pts) Seja F(x, y)=(xx^2+y^2-3 y, yx^2+y^2+2 x). Calcule integralC F cdot d r, onde C é a elipse x^29+y^225=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCvec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y)=l(P,Qr) com
P=xx^2+y^2-3y e Q=yx^2+y^2+2x,
e C é a elipse x^29+y^225=1 orientada no sentido anti-horário. Vamos usar decomposição em dois campos e depois aplicar propriedades de campos conservativos e o Teorema de Green.

Passo 2

Separamos
vec F=vec F1+vec F2
com
vec F1(x,y)=l(tfracxx^2+y^2,,tfracyx^2+y^2r), vec F2(x,y)=(-3y,,2x)
Então
ointCvec Fcdot dvec r =ointCvec F1cdot dvec r +ointCvec F2cdot dvec r

Passo 3

O campo vec F1 é gradiente de
phi(x,y)=tfrac12lnl(x^2+y^2r),
pois
partialphipartial x =xx^2+y^2, partialphipartial y =yx^2+y^2
Logo
ointCvec F1cdot dvec r =ointCdphi=0
num percurso fechado que volta ao ponto de partida.

Passo 4

Para vec F2=(-3y,2x) usamos o Teorema de Green:
ointCvec F2cdot dvec r =integral duplaDl(partialpartial x(2x) -partialpartial y(-3y)r),dA =integral duplaD(2-(-3)),dA =5integral duplaDdA
Aqui D é o interior da elipse tfracx^29+tfracy^225<=1, cuja área é
picdot3cdot5=15pi. Portanto
ointCvec F2cdot dvec r =5cdot15pi =75pi

Resposta

ointCvec Fcdot dvec r = 75pi

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