Ache a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de cada função no ponto indicado
f(x, y)=x^2-2 y^2+x y, no ponto (1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
f(x,y)=x^2-2y^2+xy
no ponto (1,1,0).
Conteúdo: superfícies no espaço, derivadas parciais, plano tangente e reta normal.
Vamos precisar calcular partial fpartial x e partial fpartial y, avaliá-las em (1,1) e usar as fórmulas padrão.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =2x + y, partial fpartial y(x,y) =-4y + x

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais em (x,y)=(1,1):
partial fpartial x(1,1) =2cdot1 + 1 = 3, partial fpartial y(1,1) =-4cdot1 + 1 = -3

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente. A fórmula é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui z0=0, x0=1, y0=1, fx(1,1)=3, fy(1,1)=-3. Logo
z - 0 = 3,(x-1) -3,(y-1),
que se simplifica para
z = 3x -3y

Passo 5

Determinar a reta normal. A normal ao gráfico vem do gradiente da função implícita
Phi(x,y,z)=f(x,y)-z, cujo vetor normal é
nabla Phi = l(fx,fy,-1r) =(3,,-3,,-1)
avaliado em (1,1,0). A equação paramétrica da reta normal é
l(x,y,zr) = (1,1,0) + t,(3,-3,-1),
ou explicitamente
x = 1 + 3t, y = 1 - 3t, z = -,t

Resposta

Plano tangente:
z = 3x - 3y
Reta normal (forma paramétrica):
x = 1 + 3t, y = 1 - 3t, z = -,t

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