e pede (a) as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y, e (b) se f é diferenciável em (0,0). Vamos usar o quociente de derivadas para (x,y)neq(0,0) e, em (0,0), a definição limite de derivada. Para diferenciabilidade em (0,0) basta testar continuidade (se falhar, não é diferenciável).]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0), aplique a regra do quociente:
partial fpartial x =partialxl(x+y^4r),(x^2+y^2)-(x+y^4),partialx(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 =1cdot(x^2+y^2)-(x+y^4)cdot2x(x^2+y^2)^2,
logo
partial fpartial x =x^2+y^2-2x(x+y^4)(x^2+y^2)^2 =-x^2-2x,y^4+y^2(x^2+y^2)^2
De modo semelhante,
partial fpartial y =4y^3,(x^2+y^2)-(x+y^4),2y(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+2y^5-2xy(x^2+y^2)^2