Considere a seguinte função.
f(x, y)= x+y^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Determine partial fpartial x e partial fpartial y.
(b) f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx+y^4x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede (a) as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y, e (b) se f é diferenciável em (0,0). Vamos usar o quociente de derivadas para (x,y)neq(0,0) e, em (0,0), a definição limite de derivada. Para diferenciabilidade em (0,0) basta testar continuidade (se falhar, não é diferenciável).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplique a regra do quociente:
partial fpartial x =partialxl(x+y^4r),(x^2+y^2)-(x+y^4),partialx(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 =1cdot(x^2+y^2)-(x+y^4)cdot2x(x^2+y^2)^2,
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partial fpartial x =x^2+y^2-2x(x+y^4)(x^2+y^2)^2 =-x^2-2x,y^4+y^2(x^2+y^2)^2
De modo semelhante,
partial fpartial y =4y^3,(x^2+y^2)-(x+y^4),2y(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+2y^5-2xy(x^2+y^2)^2

Passo 3

Em (0,0), use a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tfrach+0h^2-0h =limhto01/hh =limhto01h^2,
que não existe (vai a +infty quando hto0). Já
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-0k =limkto0tfrac0+k^4k^2k =limkto0k^2k =limkto0k =0

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0), f teria que ser contínua lá. Mas ao longo da reta y=x,
f(x,x)=x+x^42x^2 =1+x^32xxrightarrow[xto0]pminfty,
logo f não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável ali.

Resposta

(a) Para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =-x^2-2x,y^4+y^2(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =4x^2y^3+2y^5-2xy(x^2+y^2)^2
Em (0,0) partial f/partial x não existe e partial f/partial y(0,0)=0.
(b) f não é diferenciável em (0,0).\newline

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