Ache a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de cada função no ponto indicado
f(x, y)=e^x ln (y2), no ponto (1,2,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da superfície definida por
z = f(x,y) = e^xln!gl(y2gr)
no ponto (1,2,0). Para isso precisamos usar derivadas parciais para encontrar a inclinação na direção de x e de y, montar o plano tangente e, em seguida, extrair a reta normal usando o vetor normal ao plano.

Passo 2

Verificamos que, de fato, o ponto está no gráfico:
z0 = f(1,2) = e^1ln!gl(22gr) = ecdot0 = 0
Logo o ponto de interesse é (x0,y0,z0)=(1,2,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(e^xln!tfracy2r) = e^xln!tfracy2,
fy(x,y)=partialpartial yl(e^xln!tfracy2r) = e^xcdot1y
No ponto (1,2) isso dá
fx(1,2)=e^1ln(1)=0, fy(1,2)=e^1cdot12=e2

Passo 4

A equação do plano tangente é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 0 = 0,(x-1) + e2,(y-2),
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z = e2,(y-2)

Passo 5

O vetor normal ao plano é dado por
l(fx(1,2),,fy(1,2),,-1r) = l(0,,tfrace2,,-1r)
A reta normal que passa em (1,2,0) e tem essa direção é
x = 1, y = 2 + tfrace2,t, z = -,t

Resposta

Plano tangente:
z = e2,(y-2)
Reta normal:
x = 1, y = 2 + tfrace2,t, z = -,t

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