Para a viga prismática engastada e apoiada (hiperestática), com El constante, de comprimento L e densidade de carga linearmente variada de w9 à 0 , utilizando o método que achar apropriado, determinar:
a) a reação no rolete de apoio (B); R:
b) as reações no engastamento; (A) R : ;
c) a rotação em na viga no ponto B; R:
d) a deflexão máxima: R :

Passo 1

Temos uma viga de comprimento L, engastada em A e apoiada em rolete em B. A carga é triangular, de densidade
w(x)=w0l(1-xLr),
máxima em A ( x=0) e nula em B ( x=L). Como a viga é hiperestática de grau 1, usamos o método das deformações consistentes: removemos a reação vertical em B (redundante), tratamos a viga como cantilever em A e impomos que a deflexão em B seja zero. Precisaremos calcular
  1. a deflexão em B sob a carga triangular (caso principal),
  2. a deflexão em B sob uma carga unitária em B (função de influência),
  3. usar a condição de compatibilidade para achar RB,
  4. obter as reações em A por equilíbrio global,
  5. calcular a rotação em B e
  6. determinar a deflexão máxima por superposição.

Passo 2

Compute-se primeiro a deflexão em B quando a viga é considerada um cantilever em A e submetida apenas ao carregamento triangular w(x)=w0(1 - x/L). O momento interno é
M(x);=;integralx^Lw(s),(s-x),ds ;=;w06L,(L - x)^3,
logo a equação da curvatura é ,EI,y''(x)=M(x). Integrando duas vezes com y(0)=0 e y'(0)=0 chega-se à deflexão no extremo livre ( x=L):
de<a0 =;y(L) =;w0,L^430,EI

Passo 3

Agora impomos uma carga unitária descendente P=1 em B sobre o mesmo cantilever. Sabe-se que a deflexão em B sob esse carregamento é
de<a1 =;L^33,EI
Pela superposição, se chamarmos RB a reação vertical em B, a condição de compatibilidade yB=0
de<a0;-;RB,de<a1 =0 Longrightarrow RB =de<a0de<a1 =w0L^430EI L^33EI =w0L10

Passo 4

Com RB em mãos, as reações em A vêm do equilíbrio global. A carga total é a área do triângulo tfrac12,w0L. Então a força de apoio em A é
RA =12w0L ;-; RB =12w0L - w0L10 =25,w0L
O momento em A devido à carga principal é
M0=integral0^Lw(x),x,dx=w0L^26,
e a sobreposição de RB em B gera momento -RBL. Logo
MA =M0 - RB,L =w0L^26 - w0L10,L =w0L^215

Passo 5

A rotação em B é a derivada de y(x) em x=L. Pela mesma superposição, a rotação produzida pela carga triangular (caso principal) é
varphi0 =y'(L) =w0L^324,EI,
e a rotação por carga unitária em B é
varphi1 =L^22,EI
Logo a rotação total em B vale
varphiB =varphi0 ;-; RB,varphi1 =w0L^324EI -w0L10,L^22EI =-,w0L^3120,EI

Passo 6

Para achar a deflexão máxima fazemos a superposição completa
y(x) =y0(x);-;RB,y1(x),
onde y0(x) é a deflexão sob w(x) e
y1(x)=x^2(3L-x)6EI
é a deflexão sob carga unitária em B. Calcula‐se dy/dx=0 e encontra‐se
xm =5-raiz55,L,
e aí
de<amax =y(xm) =2raiz51875,w0L^4EI

Resposta

a) RB=w0L10
b) RA=25w0L, MA=w0L^215
c) varphiB=-w0L^3120,EI
d) de<amax=2raiz51875,w0L^4EI

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