Ache a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
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Passo 1
Vamos entender qual é o problema. A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ no ponto $ (2, -2, 3) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariable, mais especificamente o conceito de planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar o gradiente da função que define a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação completa da superfície. Normalmente, uma superfície é definida por uma equação igualando a uma constante. Então, vamos considerar que a superfície é uma esfera com equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = C $.
Como temos o ponto $ (2, -2, 3) $ na superfície, podemos encontrar $ C $:
Portanto, a equação da superfície é $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 17 $.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente a essa superfície no ponto dado, precisamos calcular o gradiente da função que define a superfície. A função é $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $.
O gradiente de $ f $, denotado por $ \nabla f $, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ (2, -2, 3) $:
Esse vetor $ (4, -4, 6) $ é o vetor normal ao plano tangente que queremos encontrar.
Passo 6
A equação de um plano tangente pode ser escrita usando o vetor normal $ (a, b, c) $ e um ponto $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ no plano:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto $ (2,-2,3) $ é $ 2x -2y +3z -17 = 0 $.