Ache a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ x^{2} + y^{2} - 3z = 2 $ no ponto específico
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar se o ponto
realmente está na superfície dada. Substituindo $ x = -2 $, $ y = -4 $, e $ z = 6 $ na equação da superfície:
Como o lado esquerdo resulta em 2, que é igual ao lado direito, o ponto está na superfície.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
A superfície pode ser vista como $ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 3z - 2 = 0 $.
As derivadas parciais são:
Passo 4
Avalie as derivadas parciais no ponto dado
:
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Substituindo os valores obtidos e o ponto
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: