Ache a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
x^2+y^2-3 z=2 ;(-2,-4,6).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ x^{2} + y^{2} - 3z = 2 $ no ponto específico x^2 + y^2 - 3z = 2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar se o ponto (-2, -4, 6) realmente está na superfície dada. Substituindo $ x = -2 $, $ y = -4 $, e $ z = 6 $ na equação da superfície:
x = -2
Como o lado esquerdo resulta em 2, que é igual ao lado direito, o ponto está na superfície.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
A superfície pode ser vista como $ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 3z - 2 = 0 $.
As derivadas parciais são:
x
y
z

Passo 4

Avalie as derivadas parciais no ponto dado (-2, -4, 6):
Fx(-2, -4, 6) = 2(-2) = -4
Fy(-2, -4, 6) = 2(-4) = -8
Fz(-2, -4, 6) = -3

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a fórmula:
Fx(a, b, c)(x - a) + Fy(a, b, c)(y - b) + Fz(a, b, c)(z - c) = 0
Substituindo os valores obtidos e o ponto (-2, -4, 6):
-4(x + 2) -8(y + 4) -3(z - 6) = 0

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação:
-4x -8 + (-8y -32) + (-3z +18) = 0
-4x -8y -3z -22 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
4x + 8y + 3z + 22 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (-2, -4, 6) é:
4x + 8y + 3z + 22 = 0

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