Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(x+y)+x ln (x) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede encontrar a família de soluções implícitas da EDO (x+y) + x ln(x) dydx = 0. O conteúdo principal é EDO linear de primeira ordem em y(x), e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão de equação linear: dividindo por x ln(x) (supondo x>0), obtemos dydx + 1xln(x),y = -1ln(x).

Passo 3

Identificamos P(x) = 1xln(x) e Q(x) = -1ln(x). Para resolver, vamos usar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x),dx.

Passo 4

Calculamos o fator integrante: integral P(x),dx = integral 1xln(x),dx = ln|ln(x)|. Assim, mu(x) = e^ln|ln(x)| = |ln(x)|. Considerando ln(x)>0, temos mu(x)=ln(x).

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x) e reconhecemos a derivada do produto: ln(x)dydx + 1xy = -1 fica ddx[yln(x)] = -1.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x: integral d[yln(x)] = integral -1,dx, obtemos yln(x) = -x + C.

Resposta

yln(x) + x = C

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