Encontre uma família de soluções explícitas (especificando um intervalo I onde as soluções sejam válidas) para cada EDO abaixo
x^2 y^prime+x y=1

Passo 1

Temos a EDO x^2y' + x y = 1, que é de primeira ordem e linear. Vamos trazer para a forma padrão y' + p(x)y = q(x).

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2 (assumindo xneq0) obtemos
y' + 1xy = 1x^2

Passo 3

Identificamos p(x)=1/x e calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral1x,dxr)=|x| Para simplificar, trabalhamos em um intervalo onde x>0 (ou então x<0), e usamos mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x, obtendo
x y' + y = 1x O lado esquerdo é a derivada de x y, pois
ddx(x y)=x y' + y

Passo 5

Logo
ddx(x y)=1x Integrando ambos os lados:
x y = integral 1x,dx + C = ln|x| + C

Passo 6

Despejando y:
y(x)=ln|x| + Cx

Passo 7

Concluímos que a família geral de soluções é
y(x)=\dfrac{\ln|x|+C}{x},
válida em intervalos onde x>0 ou x<0 (cada um dando um domínio de solução contínuo).

Resposta

y(x)=\frac{\ln|x|+C}{x},\quad I=(0,\infty)ouI=(-\infty,0).

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