Ache uma equação da reta normal à curva 9 x^3-y^3=1 no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede uma equação da reta normal à curva definida implicitamente por 9x^3 - y^3 = 1 no ponto (1,2). Vamos usar derivação implícita para achar y', que é o coeficiente angular da reta tangente; depois calcular o coeficiente angular da reta normal como o recíproco negativo e, por fim, montar a equação da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Derivando ambos os lados de 9x^3 - y^3 = 1 em relação a x, aplicamos a regra do poder e a cadeia:

Passo 3

Isolando y' obtemos
y' = 27x^23y^2 = 9x^2y^2;

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(1,2):
y'|(1,2) = 91^22^2 = 94;

Passo 5

Esse é o coeficiente angular da reta tangente mt=9/4. Então o coeficiente da reta normal é o negativo do recíproco:
mn = -1mt = -49;

Passo 6

Finalmente, usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m (x - x0) com m = -4/9 e ponto (1,2), montamos a reta normal.

Resposta

y - 2 = -49(x - 1)

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