Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifique o resultado por diferenciação.
j) integral(4+4 t g^2 v) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral (4 + 4 t g^2 v),dv. O conteúdo é regras básicas de integração: linearidade e potência. Vamos usar que integral v^n,dv = v^n+1/(n+1) e que constantes podem sair da integral.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral para separar:
integral (4 + 4 t g^2 v),dv = integral 4,dv + integral 4 t g^2 v,dv

Passo 3

Calculamos integral 4,dv. Como 4 é constante em relação a v, temos integral 4,dv = 4v

Passo 4

Calculamos integral 4 t g^2 v,dv. Extraímos a constante 4 t g^2 e usamos integral v,dv = v^2/2, logo
integral 4 t g^2 v,dv = 4 t g^2 cdot v^22 = 2 t g^2 v^2

Passo 5

Somamos os resultados e adicionamos a constante de integração C, obtendo
4v + 2 t g^2 v^2 + C

Passo 6

Verificamos por diferenciação:
ddv(4v + 2 t g^2 v^2) = 4 + 4 t g^2 v,
que coincide com o integrando, confirmando o resultado.

Resposta

4v + 2 t g^2 v^2 + C

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