Utilize as regras básicas de integração para resolver a integral indefinida e verifique o resultado por diferenciação.
k) integral t^2+2t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integralt^2+2t^2,dt, usando as regras básicas de integração (soma de integrais e regra da potência) e depois verificar o resultado por diferenciação.

Passo 2

Primeiro a gente simplifica o integrando, separando em dois termos:
t^2+2t^2 = t^2t^2 + 2t^2 = 1 + 2t^-2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência em cada termo:
  • integral1,dt = t.
  • integral2t^-2,dt = 2integral t^-2,dt = 2cdott^-1-1 = -2t^-1

Passo 4

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C, chegamos em
integralt^2+2t^2,dt = t - 2t + C

Passo 5

Para conferir, diferenciamos o resultado:
ddtl(t - 2t^-1r) = 1 + 2t^-2 = t^2+2t^2,
que é exatamente o integrando original, mostrando que a solução está correta.

Resposta

t - 2t + C

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