Ache a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelos pontos A=(3,4,2), B=(-1,5,3) e C=(2,1,4) e que passe pela origem.

Passo 1

O problema pede a reta que é perpendicular ao plano determinado pelos pontos A=(3,4,2), B=(-1,5,3) e C=(2,1,4) e que ainda passe pela origem O=(0,0,0). Para isso precisamos do vetor normal ao plano ABC e então escrever a reta que parte de O na direção desse normal.

Passo 2

Primeiro formamos dois vetores que “vivem” no plano ABC, por exemplo
AB = B - A e AC = C - A.
Calculando coordenada a coordenada:
AB = (-1-3,;5-4,;3-2) = (-4,,1,,1),
AC = (2-3,;1-4,;4-2) = (-1,,-3,,2)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial AB times AC.
n ;=; i & j & k -4 & 1 & 1 -1 & -3 & 2 = (1 cdot 2 - 1 cdot (-3),; -(-4 cdot 2 - 1 cdot (-1)),; -4 cdot (-3) - 1 cdot (-1)) = (5,,7,,13)

Passo 4

Como a reta é perpendicular ao plano, sua direção é n=(5,7,13). E como ela deve passar por O=(0,0,0), sua forma paramétrica é
x=5t, y=7t, z=13t, tinR,
ou, equivalentemente, na forma simétrica
x5=y7=z13

Resposta

x5=y7=z13

Exercícios relacionados