Considere T: R^3 R^3. Ache a lei de T quando
T tem autovalores lambda=1 e-1 e V-1=lang<=(1,0,0),(1,0,1)rang<= e V1=lang<=(0,1,0)rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a lei da transformação linear T:R^3toR^3 sabendo que os autovalores são lambda=-1 e lambda=1, com espaços próprios
,V-1=lang<=(1,0,0),(1,0,1)rang<= e
,V1=lang<=(0,1,0)rang<=.
O objetivo é construir T em relação à base canônica de R^3, usando a propriedade de que em cada vetor próprio v temos T(v)=lambda,v.

Passo 2

Como dim V-1=2 e dim V1=1, os vetores
u1=(1,0,0), u2=(1,0,1), u3=(0,1,0)
formam uma base de R^3. Nessa base, a matriz de T é diagonal com entradas -1,-1,1, pois
T(u1)=-1cdot u1, T(u2)=-1cdot u2, T(u3)=1cdot u3

Passo 3

Para um vetor genérico v=(x,y,z), escrevemos
v = a,u1 + b,u2 + c,u3
ou seja
(a+b,;c,;b) = (x,y,z)
Dessa igualdade segue
b = z, c = y, a = x - b = x - z

Passo 4

Aplicando T a v na base u1,u2,u3 temos
T(v) = -a,u1 ;-; b,u2 ;+; c,u3
Em coordenadas canônicas isso dá
T(v) = (-a-b,;c,;-b)

Passo 5

Substituindo a=x-z, b=z e c=y na expressão acima, obtemos
T(x,y,z) = l(-(x-z)-z,;y,;-zr) = (-x,;y,;-z)

Resposta

A lei de T é
T(x,y,z) = (-x,;y,;-z)

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