Considere . Ache a lei de quando tem autovalores e e .
Em cada caso (a) e (b) acima escreva a matriz de na base . (Obs.: Sem fazer contas!)
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear com autovalores e . O espaço próprio associado a é
e o espaço próprio associado a é
Além disso, queremos escrever a matriz de na base
Passo 2
Note que a base é formada por autovetores: e estão em , logo
e está em , logo
Passo 3
Como em qualquer base de autovetores a matriz de é diagonal com os autovalores na posição correspondente, na ordem obtemos
Passo 4
Para achar a lei de T em coordenadas canônicas, percebemos que V1=span(0,1,0) e V-1=span(1,0,0),(1,0,1) formam uma decomposição espectral. A projeção sobre V1 manda
(x,y,z);mapsto;(0,y,0)
Como T vale +1 em V1 e -1 em V-1, podemos escrever
T=2PV1-I
e daí, para (x,y,z),
T(x,y,z) =2,(0,y,0)- (x,y,z) =(-x,;y,;-z)
Resposta
A lei de T em coordenadas canônicas é
T(x,y,z)=(-x,;y,;-z),
e a matriz de T na base A=(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1) é