Considere T: R^3 R^3. Ache a lei de T quando
T tem autovalores lambda=1 e-1 e V-1=lang<=(1,0,0),(1,0,1)rang<= e V1=lang<=(0,1,0)rang<=.
Em cada caso (a) e (b) acima escreva a matriz de T na base A=(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1). (Obs.: Sem fazer contas!)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T: R^3to R^3 com autovalores lambda=-1 e lambda=1. O espaço próprio associado a lambda=-1 é
V-1=lang<=(1,0,0),,(1,0,1)rang<=
e o espaço próprio associado a lambda=1 é
V1=lang<=(0,1,0)rang<=
Além disso, queremos escrever a matriz de T na base
A=lv1=(1,0,0),;v2=(0,1,0),;v3=(1,0,1)r

Passo 2

Note que a base A é formada por autovetores:
v1 e v3 estão em V-1, logo
T(v1)=-1cdot v1, T(v3)=-1cdot v3,
e v2 está em V1, logo
T(v2)=1cdot v2

Passo 3

Como em qualquer base de autovetores a matriz de T é diagonal com os autovalores na posição correspondente, na ordem v1,v2,v3 obtemos
[T]A= -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 4

Para achar a lei de T em coordenadas canônicas, percebemos que V1=span(0,1,0) e V-1=span(1,0,0),(1,0,1) formam uma decomposição espectral. A projeção sobre V1 manda
(x,y,z);mapsto;(0,y,0)
Como T vale +1 em V1 e -1 em V-1, podemos escrever
T=2PV1-I
e daí, para (x,y,z),
T(x,y,z) =2,(0,y,0)- (x,y,z) =(-x,;y,;-z)

Resposta

A lei de T em coordenadas canônicas é
T(x,y,z)=(-x,;y,;-z),
e a matriz de T na base A=(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1) é
[T]A = -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Exercícios relacionados