Ache uma equação da reta tangente à curva dada pela equação y= (3 x^2-2 x+4)^2, no ponto (1,25).
Exercício 3.4.3 Ache uma equação da reta tangente à curva dada pela equação y= (3 x^2-2 x+4)^2, no ponto (1,25).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida por
y = l(3x^2 - 2x + 4r)^2
no ponto (1,25). O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivada pela regra da cadeia, pois a função é uma composição de um quadrado com um polinômio.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia: se y = [u(x)]^2 com u(x)=3x^2-2x+4, então
y' = 2,u(x),ddxl(u(x)r) = 2l(3x^2-2x+4r)l(6x-2r)

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=1. Primeiro
u(1)=3cdot1^2-2cdot1+4=3-2+4=5,
e
6cdot1-2=4
Logo
y'(1)=2cdot5cdot4=40

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto (1,25) é dada por
y - 25 = 40,(x - 1)
Se quisermos escrever na forma explícita, basta expandir:
y = 40x - 40 + 25 Longrightarrow y = 40x - 15

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 40x - 15

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