Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que \vec{F}=\nabla f.
\vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3}, 2 x y z^{3}, 3 x y^{2} z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial e pede para decidir se é conservativo e, caso sim, encontrar uma função potencial:
  • Campo vetorial:
\vec{F}(x,y,z)=\big(y^{2}z^{3},\;2xyz^{3},\;3xy^{2}z^{2}\big).
  • Perguntas que precisamos responder:
    1. O campo é conservativo ou não?
    2. Se for conservativo, determinar f tal que \vec{F}=\nabla f.

Passo 2

O que significa e como testar (aula rápida): um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo em um domínio se existe uma função f tal que \nabla f=\vec{F}. Uma forma prática, quando o domínio é simplesmente conexo (como \mathbb{R}^3), é verificar se o rotor (curl) de \vec{F} é o vetor zero:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
Aqui P=y^{2}z^{3}, Q=2xyz^{3}, R=3xy^{2}z^{2}. Vou calcular \nabla\times\vec{F} componente a componente. Explicando: o rotor tem componentes
(\nabla\times\vec{F})_1=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},
(\nabla\times\vec{F})_2=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},
(\nabla\times\vec{F})_3=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y} e \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z}:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy^{2}z^{2}\big)=3x\cdot 2y\cdot z^{2}=6xyz^{2},
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(2xyz^{3}\big)=2xy\cdot 3z^{2}=6xyz^{2}.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_1=\;6xyz^{2}-6xyz^{2}=0.

Passo 4

Calcular \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z} e \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x}:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y^{2}z^{3}\big)=y^{2}\cdot 3z^{2}=3y^{2}z^{2},
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy^{2}z^{2}\big)=3y^{2}z^{2}.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_2=\;3y^{2}z^{2}-3y^{2}z^{2}=0.

Passo 5

Calcular \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} e \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xyz^{3}\big)=2yz^{3},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}z^{3}\big)=2yz^{3}.
Logo
(\nabla\times\vec{F})_3=\;2yz^{3}-2yz^{3}=0.

Passo 6

Como todas as componentes do rotor são zero, temos
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}\quad\text{em }\mathbb{R}^{3}.
Além disso o domínio do campo é todo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo. Dessa forma, pelo teorema padrão, \vec{F} é conservativo e existe uma função potencial f tal que \nabla f=\vec{F}. Agora vou encontrar f explicitamente.

Passo 7

Método para encontrar f (aula passo a passo): se \nabla f=(P,Q,R), então
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=R.
Começo integrando P em relação a x, tratando y,z como constantes:
f(x,y,z)=\int P\,dx=\int y^{2}z^{3}\,dx=xy^{2}z^{3}+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 8

Determinar g(y,z) usando a condição \partial f/\partial y=Q. Calculo \partial f/\partial y a partir do que achei:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(xy^{2}z^{3}+g(y,z)\big)=2xyz^{3}+\frac{\partial g}{\partial y}.
Como isso deve ser igual a Q=2xyz^{3}, obtemos
2xyz^{3}+\frac{\partial g}{\partial y}=2xyz^{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.
Portanto g não depende de y; isto é, g(y,z)=h(z) para alguma função h apenas de z.

Passo 9

Determinar h(z) usando \partial f/\partial z=R. Calculo \partial f/\partial z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(xy^{2}z^{3}+h(z)\big)=3xy^{2}z^{2}+h'(z).
Isso deve ser igual a R=3xy^{2}z^{2}, logo
3xy^{2}z^{2}+h'(z)=3xy^{2}z^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=0.
Assim h(z) é constante, h(z)=C.

Passo 10

Então a função potencial é
f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}+C,
onde C é uma constante arbitrária. Em particular uma escolha conveniente é C=0, dando f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}.

Resposta

Conservativo.
f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}+C

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