Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial e pede para decidir se é conservativo e, caso sim, encontrar uma função potencial:
- Campo vetorial:
- Perguntas que precisamos responder:
- O campo é conservativo ou não?
- Se for conservativo, determinar
tal que .
Passo 2
O que significa e como testar (aula rápida): um campo vetorial
é conservativo em um domínio se existe uma função
tal que
. Uma forma prática, quando o domínio é simplesmente conexo (como
), é verificar se o rotor (curl) de
é o vetor zero:
Aqui
,
,
. Vou calcular
componente a componente. Explicando: o rotor tem componentes
Passo 3
Calcular
e
:
Logo
Passo 4
Calcular
e
:
Logo
Passo 5
Calcular
e
:
Logo
Passo 6
Como todas as componentes do rotor são zero, temos
Além disso o domínio do campo é todo
, que é simplesmente conexo. Dessa forma, pelo teorema padrão,
é conservativo e existe uma função potencial
tal que
. Agora vou encontrar
explicitamente.
Passo 7
Método para encontrar
(aula passo a passo): se
, então
Começo integrando
em relação a
, tratando
como constantes:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 8
Determinar
usando a condição
. Calculo
a partir do que achei:
Como isso deve ser igual a
, obtemos
Portanto
não depende de
; isto é,
para alguma função
apenas de
.
Passo 9
Determinar
usando
. Calculo
:
Isso deve ser igual a
, logo
Assim
é constante,
.
Passo 10
Então a função potencial é
onde
é uma constante arbitrária. Em particular uma escolha conveniente é
, dando
.
Resposta
Conservativo.