Calcule a integral de superfície
para o campo vetorial dada
e a superfície orientada
.
é o paralelogramo com equações paramétricas
e com orientação positiva.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
para o campo vetorial e a superfície dados. Os dados do problema são (peguei-os do enunciado):
- Campo vetorial:
- Superfície
é o paralelogramo parametrizado por com:
e o domínio paramétrico
- O enunciado menciona “orientação positiva”. Vou usar a orientação induzida pela parametrização
; se a orientação desejada for a oposta, o resultado muda apenas de sinal — eu explico isso adiante.
O que exatamente precisamos calcular: a integral de fluxo da campo através de
, isto é a integral de superfície do tipo
onde
é o elemento de área orientado da superfície.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicando passo a passo, sem pular etapas).
- Quando uma superfície
é dada por uma parametrização , o elemento de área orientado é dado por
onde
e
são as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
; o vetor
é a normal orientada à superfície cujo sentido depende da ordem
. Esse vetor multiplicado por
representa um pequeno “paralelogramo” na superfície com área e orientação apropriadas.
- Assim, a integral de fluxo fica
onde
é o domínio
.
Agora aplicamos isso ao problema com a parametrização dada.
Passo 3
Calcular
e
a partir da parametrização
.
- Derivadas parciais:
- Agora o produto vetorial
. Vou calcular componente a componente usando a fórmula
Aplicando com
e
:
Calculando cada componente:
Observação sobre orientação: esse vetor normal tem terceira componente negativa (
), ou seja aponta com componente
negativa. Essa é a orientação induzida pela ordem
. Se por “orientação positiva” o professor quisesse o normal com componente
, bastaria trocar a ordem para
e o resultado mudaria de sinal. Vou seguir a orientação induzida pela parametrização (como é usual quando a parametrização é fornecida), e depois comento sobre mudança de sinal caso necessário.
Passo 4
Avaliar
sobre a parametrização
.
Temos
. Primeiro calcule
:
Portanto
. Substituindo em
:
Passo 5
Formar o integrando
.
Usando
e
do passo anterior:
Agora simplifico a expressão. Note que os dois primeiros termos envolvendo
cancelam:
Logo resta apenas a parte polinomial:
Esse cancelamento é um ponto legal: as componentes com
se anularam por coincidência numérica, deixando uma integranda simples — ótimo para cálculo à mão na prova.
Passo 6
Calcular a integral dupla sobre o domínio
:
Como a função separa em termos de
e
, podemos separar a integral:
Calculo cada parte:
- Para o termo em
:
- Para o termo em
:
Somando:
Passo 7
Interpretação final sobre orientação: usei o vetor normal
obtido diretamente da parametrização. Se por “orientação positiva” o problema exigisse o normal oposto (por exemplo, normal com componente
), então o resultado teria sinal trocado e a integral seria
. Assim:
- Com a orientação induzida pela parametrização dada (ordem
como foi fornecida): resultado . - Se a orientação pedida for a oposta, resultado
.
Como o enunciado forneceu a parametrização e pediu a integral com “orientação positiva”, interpretei que a orientação pedida coincide com a dada pela parametrização; portanto o valor final é
. Se você tiver uma instrução explícita de que a orientação positiva deve ter componente
positiva, troque o sinal.
Resposta
-4