Calcule a integral de superfície \int_{S} \vec{F} d S para o campo vetorial dada \vec{F} e a superfície orientada S.
\vec{F}(x, y, z)=\left(z \mathrm{e}^{x y},-3 z \mathrm{e}^{x y}, x y\right), S é o paralelogramo com equações paramétricas x= u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, 0 \leq u \leq 2,0 \leq v \leq 1 e com orientação positiva.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície \int_{S}\vec{F}\,dS para o campo vetorial e a superfície dados. Os dados do problema são (peguei-os do enunciado):
  • Campo vetorial:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(z\,e^{xy},\,-3z\,e^{xy},\,xy\bigr).
  • Superfície S é o paralelogramo parametrizado por \vec{r}(u,v) com:
x=u+v,\qquad y=u-v,\qquad z=1+2u+v,
e o domínio paramétrico
0\le u\le2,\qquad 0\le v\le1.
  • O enunciado menciona “orientação positiva”. Vou usar a orientação induzida pela parametrização \vec{r}(u,v); se a orientação desejada for a oposta, o resultado muda apenas de sinal — eu explico isso adiante.
O que exatamente precisamos calcular: a integral de fluxo da campo através de S, isto é a integral de superfície do tipo
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S},
onde d\vec{S} é o elemento de área orientado da superfície.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicando passo a passo, sem pular etapas).
  • Quando uma superfície S é dada por uma parametrização \vec{r}(u,v), o elemento de área orientado é dado por
d\vec{S}=\bigl(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr)\,du\,dv,
onde \vec{r}_u=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial u} e \vec{r}_v=\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial v} são as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v; o vetor \vec{r}_u\times\vec{r}_v é a normal orientada à superfície cujo sentido depende da ordem (u,v). Esse vetor multiplicado por du\,dv representa um pequeno “paralelogramo” na superfície com área e orientação apropriadas.
  • Assim, a integral de fluxo fica
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{D}\vec{F}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr)\,du\,dv,
onde D é o domínio \{(u,v)\mid 0\le u\le2,\;0\le v\le1\}.
Agora aplicamos isso ao problema com a parametrização dada.

Passo 3

Calcular \vec{r}_u e \vec{r}_v a partir da parametrização \vec{r}(u,v)=(u+v,\;u-v,\;1+2u+v).
  • Derivadas parciais:
\vec{r}_u=\left(\dfrac{\partial x}{\partial u},\dfrac{\partial y}{\partial u},\dfrac{\partial z}{\partial u}\right)=(1,\,1,\,2),
\vec{r}_v=\left(\dfrac{\partial x}{\partial v},\dfrac{\partial y}{\partial v},\dfrac{\partial z}{\partial v}\right)=(1,\,-1,\,1).
  • Agora o produto vetorial \vec{r}_u\times\vec{r}_v. Vou calcular componente a componente usando a fórmula
\vec{a}\times\vec{b}=(a_2 b_3-a_3 b_2,\;a_3 b_1-a_1 b_3,\;a_1 b_2-a_2 b_1).
Aplicando com \vec{a}=\vec{r}_u=(1,1,2) e \vec{b}=\vec{r}_v=(1,-1,1):
\vec{r}_u\times\vec{r}_v=\bigl(1\cdot1-2\cdot(-1),\;2\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot(-1)-1\cdot1\bigr).
Calculando cada componente:
\vec{r}_u\times\vec{r}_v=(1+2,\;2-1,\;-1-1)=(3,\,1,\,-2).
Observação sobre orientação: esse vetor normal tem terceira componente negativa ( -2), ou seja aponta com componente z negativa. Essa é a orientação induzida pela ordem (u,v). Se por “orientação positiva” o professor quisesse o normal com componente z>0, bastaria trocar a ordem para \vec{r}_v\times\vec{r}_u e o resultado mudaria de sinal. Vou seguir a orientação induzida pela parametrização (como é usual quando a parametrização é fornecida), e depois comento sobre mudança de sinal caso necessário.

Passo 4

Avaliar \vec{F} sobre a parametrização \vec{r}(u,v).
Temos x=u+v,\; y=u-v,\; z=1+2u+v. Primeiro calcule xy:
xy=(u+v)(u-v)=u^2-v^2.
Portanto e^{xy}=e^{\,u^2-v^2}. Substituindo em \vec{F}:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)=\bigl((1+2u+v)\,e^{\,u^2-v^2},\;-3(1+2u+v)\,e^{\,u^2-v^2},\;u^2-v^2\bigr).

Passo 5

Formar o integrando \vec{F}(\vec{r}(u,v))\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v).
Usando \vec{r}_u\times\vec{r}_v=(3,1,-2) e \vec{F}(\vec{r}(u,v)) do passo anterior:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\vec{r}_u\times\vec{r}_v\bigr) =3\cdot\bigl(1+2u+v\bigr)e^{\,u^2-v^2} +1\cdot\bigl(-3(1+2u+v)\bigr)e^{\,u^2-v^2} -2\cdot\bigl(u^2-v^2\bigr).
Agora simplifico a expressão. Note que os dois primeiros termos envolvendo e^{\,u^2-v^2} cancelam:
3(1+2u+v)e^{\,u^2-v^2}-3(1+2u+v)e^{\,u^2-v^2}=0.
Logo resta apenas a parte polinomial:
\vec{F}(\vec{r})\cdot(\vec{r}_u\times\vec{r}_v)=-2\bigl(u^2-v^2\bigr)=-2u^2+2v^2.
Esse cancelamento é um ponto legal: as componentes com e^{xy} se anularam por coincidência numérica, deixando uma integranda simples — ótimo para cálculo à mão na prova.

Passo 6

Calcular a integral dupla sobre o domínio D=\{0\le u\le2,\;0\le v\le1\}:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iint_{D}\bigl(-2u^2+2v^2\bigr)\,du\,dv.
Como a função separa em termos de u e v, podemos separar a integral:
\iint_{D}-2u^2\,du\,dv+\iint_{D}2v^2\,du\,dv.
Calculo cada parte:
  • Para o termo em u:
\iint_{D}-2u^2\,du\,dv = -2\left(\int_{u=0}^{2}u^2\,du\right)\left(\int_{v=0}^{1}dv\right) = -2\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{2}\cdot(1) = -2\cdot\frac{8}{3} = -\frac{16}{3}.
  • Para o termo em v:
\iint_{D}2v^2\,du\,dv = 2\left(\int_{v=0}^{1}v^2\,dv\right)\left(\int_{u=0}^{2}du\right) = 2\left[\frac{v^3}{3}\right]_{0}^{1}\cdot(2) = 2\cdot\frac{1}{3}\cdot2 = \frac{4}{3}.
Somando:
\iint_{D}\bigl(-2u^2+2v^2\bigr)\,du\,dv = -\frac{16}{3}+\frac{4}{3} = -\frac{12}{3} = -4.

Passo 7

Interpretação final sobre orientação: usei o vetor normal \vec{r}_u\times\vec{r}_v=(3,1,-2) obtido diretamente da parametrização. Se por “orientação positiva” o problema exigisse o normal oposto (por exemplo, normal com componente z>0), então o resultado teria sinal trocado e a integral seria +4. Assim:
  • Com a orientação induzida pela parametrização dada (ordem (u,v) como foi fornecida): resultado -4.
  • Se a orientação pedida for a oposta, resultado +4.
Como o enunciado forneceu a parametrização e pediu a integral com “orientação positiva”, interpretei que a orientação pedida coincide com a dada pela parametrização; portanto o valor final é -4. Se você tiver uma instrução explícita de que a orientação positiva deve ter componente z positiva, troque o sinal.

Resposta

-4

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