Ache a equação da reta tangente a curva no ponto dado:
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva definida implicitamente por
no ponto
. Vamos usar diferenciação implícita, a regra da cadeia e a regra do produto para encontrar
, avaliar no ponto dado e montar a reta.
Passo 2
Começamos aplicando a diferenciação implícita em ambos os lados de
. Como
, temos:
Passo 3
No lado esquerdo usamos a regra da cadeia:
[
\frac{1}{2}(x y{3}){-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x y^{3}) = \frac{1}{2\sqrt{x y{3}}}\bigl(y{3} + x\cdot 3y^{2}y
\frac{1}{2}(x y{3}){-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x y^{3}) = \frac{1}{2\sqrt{x y{3}}}\bigl(y{3} + x\cdot 3y^{2}y
Passo 4
\bigr).
]
]
Passo 5
No lado direito aplicamos a regra do produto em
:
[
\frac{d}{dx}(2x^{2}y) = 2\bigl(2x y + x^{2}y
\frac{d}{dx}(2x^{2}y) = 2\bigl(2x y + x^{2}y
Passo 6
\bigr) = 4xy + 2x^{2}y’.
]
]
Passo 7
Agora montamos a igualdade e multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Reorganizando para isolar
:
Passo 9
Logo,
Passo 10
Agora avaliamos em
,
. Primeiro calculemos
. Então:
Passo 11
Portanto
.
Passo 12
Finalmente, a reta tangente que passa por
com coeficiente angular
é dada por
, ou seja
.
Resposta
y = 2x + 1