Ache a equação da reta tangente a curva no ponto dado:
raizx y^3=1+2 x^2 y, no ponto (12, 2).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva definida implicitamente por raizx y^3 = 1 + 2x^2y no ponto (x,y) = (tfrac12,2). Vamos usar diferenciação implícita, a regra da cadeia e a regra do produto para encontrar y' = tfracdydx, avaliar no ponto dado e montar a reta.

Passo 2

Começamos aplicando a diferenciação implícita em ambos os lados de raizx y^3 = 1 + 2x^2y. Como raizx y^3 = (x y^3)^1/2, temos:
ddxl((x y^3)^1/2r) = ddx(1) + ddx(2x^2y)

Passo 3

No lado esquerdo usamos a regra da cadeia:
[
\frac{1}{2}(x y{3}){-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(x y^{3}) = \frac{1}{2\sqrt{x y{3}}}\bigl(y{3} + x\cdot 3y^{2}y

Passo 4

\bigr).
]

Passo 5

No lado direito aplicamos a regra do produto em 2x^2y:
[
\frac{d}{dx}(2x^{2}y) = 2\bigl(2x y + x^{2}y

Passo 6

\bigr) = 4xy + 2x^{2}y’.
]

Passo 7

Agora montamos a igualdade e multiplicamos ambos os lados por 2raizx y^3 para eliminar o denominador:
y^3 + 3x y^2y' = (4xy + 2x^2y')cdot 2raizx y^3 = 8xyraizx y^3 + 4x^2y'raizx y^3

Passo 8

Reorganizando para isolar y':
3x y^2y' - 4x^2y'raizx y^3 = 8xyraizx y^3 - y^3,
y'l(3x y^2 - 4x^2raizx y^3r) = 8xyraizx y^3 - y^3,

Passo 9

Logo,
y' = 8xyraizx y^3 - y^33x y^2 - 4x^2raizx y^3

Passo 10

Agora avaliamos em x=tfrac12, y=2. Primeiro calculemos raizx y^3 = raiztfrac12cdot 2^3 = raiz4 = 2. Então:
numerador = 8cdottfrac12cdot2cdot2 - 2^3 = 16 - 8 = 8,
denominador = 3cdottfrac12cdot4 - 4cdotl(tfrac12r)^2cdot2 = 6 - 2 = 4

Passo 11

Portanto y'l(tfrac12,2r) = tfrac84 = 2.

Passo 12

Finalmente, a reta tangente que passa por (tfrac12,2) com coeficiente angular m=2 é dada por y - 2 = 2l(x - tfrac12r), ou seja y = 2x + 1.

Resposta

y = 2x + 1

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