Cálculo de derivada de polinômios - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
dd x[x^n]=n x^n-1
u(x)=x^5 / 4+4 raizx^3-3 raiz[3]x+2 x-5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \u(x) usando a regra de potência \frac{d}{dx}[x^n]=n x^{n-1}. O conteúdo aqui é derivada de funções polinomiais com expoentes fracionários.

Passo 2

Identificamos que \sqrt{x^3} e \sqrt[3]{x} são potências de x. Então reescrevemos: \sqrt{x3}=x{3/2} e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Assim

Passo 3

Aplicamos a regra de potência termo a termo:
  • Para \d/dx\bigl[x^{5/4}\bigr] = \(5/4)x^{5/4-1} = (5/4)x^{1/4},
  • Para \d/dx\bigl[4x^{3/2}\bigr] = 4*(3/2)x^{3/2-1} = 6x^{1/2},
  • Para \d/dx\bigl[-3x^{1/3}\bigr] = -3*(1/3)x^{1/3-1} = -x^{-2/3},
  • Para \d/dx[2x] = 2, e \d/dx[-5] = 0.

Passo 4

Juntando tudo, obtemos a expressão da derivada.

Resposta

$ u'(x)=54x^1/4+6x^1/2-x^-2/3+2

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